Statisztika: átlag, módusz, medián
A 8.-os matek felvételin szinte minden évben előkerül az átlag, a módusz vagy éppen a medián kiszámolása – ezeket összefoglalóan statisztikai mutatóknak nevezik. A statisztikának igen kézzel fogható eredménye van: megmondhatjuk például, hogy hogyan állunk matekból, mi a leggyakoribb kutyafajta Magyarországon vagy éppen a diákok magasságát is tudjuk jellemezni. A statisztikai adatgyűjtés végén jobb esetben […]
Elemi alapfüggvények 2. rész – Gyök, exponenciális és törtfüggvény
A függvény kifejezéssel elég gyakran találkozni a középiskolai matektanulás során, ami nem véletlen: az élet minden területén találni összefüggéseket, melyeket függvényekkel is jellemezhetünk. Például a testmagasság és a testsúly viszonyát, vagy éppen a kinti hőmérséklet és a gázfogyasztás alakulását is ábrázolhatjuk ilyen módon. A mai leckében a gyök, az exponenciális és a lineáris törtfüggvény fog […]
Függvénytranszformációk
Ha megfigyeljük, hogy évről évre hogyan alakulnak a fizetések vagy, hogy az ingatlanok alapterületei hogyan befolyásolják az árakat, akkor valójában végig a függvények témakörben vagyunk. Egy korábbi leckében már megismerkedtünk az elemi alapfüggvényekkel (amit IDE kattintva érsz el), a maiban pedig a különböző függvénytranszformációk lesznek terítéken. 1. transzformáció – f(x) + c 2. transzformáció – […]
Oszthatóság
Az oszthatóság kérdése a matematikai gondolkodás-számolás egyik alapja. Oszthatóság a természetes számok körében Egy „a” természetes szám osztójának nevezzük „b” természetes számot, ha létezik olyan „c” természetes szám, melyre teljesül, hogy a = b*c, azaz a-t kapunk, ha b-t és c-t összeszorozzuk. Például a 3 osztója a 6-nak, méghozzá kétszer van meg benne, de például […]
Számtani és mértani sorozat
Amikor a bank kamatot fizet a betett pénzünkre, amikor fizetésemelést kapunk vagy amikor éppen hitelt törlesztünk – ez csak néhány terület, de van egy közös bennük: mind modellezhető, mint matematikai sorozat. Ebben a leckében a számtani és mértani sorozatok alapjaival fogunk megismerkedni, melyeket későbbi anyagokban is felhasználunk (kamat- és járadékszámítás). Számsorozatok fogalma és jelölései A […]
Statisztika – Statisztikai mutatók
A statisztikai adatgyűjtés végén jobb esetben van egy nagy kupanc adatunk: számok és betűk. A sok-sok szám, ami előttünk van, lássuk be, így ebben a formában kifejezetten unalmas és semmitmondó. Ezekből így ömlesztve nem tudunk semmi érdekeset leolvasni. A kapott számadatokat sokféle módon jellemezhetjük-elemezhetjük, ezek jelentős része az egyetemi statisztika oktatásban kap helyet, középszinten csak […]
Statisztika – Táblázat és diagramkészítés
A statisztika mindenhol jelen van: féléves jegyeid átlaga, TikTok felhasználók számának változása vagy éppen a közvéleménykutatások eredményeinek közlésekor. A statisztika, mint a matematika egyik területe, (nagy) adathalmazok feldolgozásával, jellemzésével-elemzésével és ábrázolásával foglalkozik, sőt segít a döntéshozatalban is. Tegyük fel azt az esetet, hogy 1000 fő ad választ egy közvéleménykutatást végző cég kérdéseire. Tegyük fel, hogy […]
Járadékszámítás – gyűjtőjáradék és törlesztőjáradék
Ha hitelt veszel fel a banktól, majd azt minden évben törleszted vagy éppen minden évben (hónapban) elhelyezel egy összeget, hogy összegyűljön a kinézett laptopra szánt pénzed, akkor a háttérben valójában a sorozatok bújnak meg.Egy korábbi leckében már megismerkedtünk a számtani és mértani sorozatok egyik alkalmazásával, a kamatszámítással (ezt IDE kattintva éred el), a mai leckében […]
Valós számkör felépítése
A matematika alapja a számelmélet, mely minden egyes témakörben előjön, jellemzően nem önállóan, hanem valamelyik adott feladat kapcsán, például a függvényünk a pozitív valós számok halmazán van csak értelmezve. Ebben a leckében a valós számkör felépítését vesszük át. A valós számkör felépítése Természetes számok Egész számok Racionális számok Irracionális számok Valós számok Az abszolútérték Számok […]
Gráfok
Ha szemléltetni szeretnénk, hogy Európa mely fővárosai között van közvetlen repülőjárat, azt legkönnyebben gráffal tehetjük meg. Ugyanez a módszer vethető be olyan egyszerűbb matematikai példában is, mint például kézfogások, koccintások vagy ismeretségek szemléltetésére. Ebben a leckében a gráffal kapcsolatos alapfogalmakkal, összefüggésekkel és néhány példával fogunk megismerkedni. Térjünk vissza a lecke elején említett példára: Európa mely […]
Geometria – Térgeometria: Gúla, csonkagúla, forgáskúp, csonkakúp és gömb
Mennyi tetőcserép szükséges egy ház tetejének befedésére? Mennyi festékanyag szükséges egy bowlinglabda befedésére? Ezekre és sok más hasonló, az életben is előforduló problémára ad választ a geometrián belül a felszín és a térfogatszámítás.Ebben a leckében a gúla, a csonkagúla, a kúp, a csonkakúp, valamint a gömb felszínének és térfogatának kiszámítási módszereivel ismerkedünk meg. A gúla […]
Geometria – Térgeometria: Kocka, téglatest, hasáb és forgáshenger
Vajon hány köbméter víz kell egy 3 méter átmérőjű, 90 cm magas medencébe vagy egy téglatest alakú akváriumba? Ezekre és sok más hasonló, az életben is előforduló problémára ad választ a geometrián belül a felszín és a térfogatszámítás.Ebben a leckében a kocka, a téglatest, a hasáb, valamint a forgáshenger felszínének és térfogatának kiszámítási módszereivel ismerkedünk […]
Geometria – A térgeometria alapjai, avagy a testek csoportosítása
Mennyi tetőcserép szükséges egy ház tetejének befedésére vagy hány köbméter víz szükséges egy téglatest alakú akváriumba? Ezekre és sok más hasonló, az életben is előforduló problémára ad választ a geometrián belül a felszín és a térfogatszámítás.Ebben a leckében a geometriai testek csoportosításával foglalkozunk, melynek egyik lehetősége az az, hogy milyen származtatású az adott test. Ez […]
Geometria – Koordinátageometria
A repülőgépek helyzetét, a különböző tájegységek elhelyezkedését vagy éppen egy-egy fénykép pixeleit (például arcfelismerés) is vizsgálhatjuk a koordinátageometria eszközeivel. A különböző síkidomokat, például egy paralelogrammát vagy egy kört elhelyezhetünk koordinátarendszerben is, így a csúcsok koordinátákká válnak és a koordinátageometria eszközeit is be lehet vetni a számítások során. Meghatározhatjuk egy-egy csúcs helyzetét, oldalának hosszát vagy éppen […]
Geometria – Vektorok
A geometria egyik alterülete a vektorok és ehhez szorosan kapcsolódik a koordinátageometria is. Vektorok segítségével leírható síkidomok és testek mozgatása, így a való életben is használható tudást ad, például a különböző számítógépes játékokban a karakterek mozgásának jellemzésére, de a grafikai tervezéshez vagy éppen az autózás során használt GPS-nél is használnak vektorokat és koordinátákat. Ebben a […]
Geometria – A kör jellemzői
A kör gyakran megjelenő síkidom a mindennapokban is, gondolj csak a pizzára, egy óra számlapjára vagy akár egyes épületek gyönyörű kör alakú ablakaira. A körrel kapcsolatos fogalmak és összefüggések ismerete segítséget nyújthat például abban, hogy egy körlocsoló mekkora területet képes vízzel ellátni vagy össze tudjuk hasonlítani, hogy jobban megéri-e egy 32 cm átmérőjű pizza helyett […]
Geometria – Sokszögek jellemzői
Gyakran előfordul, hogy olyan alakzattal találjuk szembe magunkat, melyek nem három- vagy négyszögek: ötszögek, hatszögek, tízszögek – például egy fürdőszobai fal csempézésekor. Feltéve, hogy ezek szabályos konvex sokszögek (minden belső szögük és oldaluk hossza egyezik), vannak hozzájuk tartozó képletek. Nem szabályos esetekben is tudunk jellemzőket számolni (oldalhossz, szög, terület), ám ezekre nincsenek egzakt képletek, mindig […]
Geometria – A háromszög és a négyszögek kerülete, területe
Épp tetőcsere előtt áll egy családi ház és szükség lenne a tető pontos méretére a cserép miatt? Netán egy korlátot szeretne valaki náddal lefedni? Mindkét probléma geometriai jellegű, ám a pontos válaszok megadásához ismerni kell a nevezetes négyszögeket, azok jellemzőit és terület-kerület képleteit. A háromszögek jellemzőivel több korábbi leckében is foglalkoztunk, míg a nevezetes konvex […]
Geometria – Nevezetes négyszögek
Feláll a szőr a hátadon, ha meg kell állapítanod egy síkidomról, hogy az rombusz, paralelogramma vagy éppen trapéz? Nem vagy egyedül, ám van segítség. A síkidomokkal a valóságban is nagyon gyakran találkozni, elég egy rajzlapra vagy egy sárkányrepülőre gondolni. Ebben a leckében a nevezetes négyszögekkel fogunk megismerkedni. Minden nevezetes konvex négyszögre igaz, hogy a belső […]
Geometria – Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai
A háromszögekben megannyi nevezetes vonal és pont létezik, melyeket a feladatok megoldásra során gyakran alkalmazunk: legyen szó síkgeometriáról vagy éppen koordinátageometriáról. Ebben a leckében azzal az 5 nevezetes vonallal és a hozzájuk kapcsolódó pontokkal ismerkedünk benne, mely a középszintű érettségire szükséges. Oldalfelező merőlegesek Szögfelező Súlyvonal Magasságvonal Középvonal