Geometria – A trigonometria összefüggései
A trigonometria a matematika azon ága, amely a háromszögek oldalai és szögei közötti kapcsolatokat vizsgálja, főként (de nem kizárólag!) a derékszögű háromszögekre koncentrálva. A különböző szögfüggvények segítségével meg lehet határozni ismeretlen oldalakat vagy szögeket. A trigonometria hasznos területek feltérképezésében és az építészetben is. Szögfüggvények a derékszögű háromszögben A háromszögekről szóló egyik korábbi leckében már megismerkedtünk […]
Geometria – A derékszögű és a szabályos háromszögek jellemzői
A háromszögek gyakrabban fordulnak elő a matematikában, mint elsőre gondolnánk: a legtöbb sokszögnél egy-egy keresett oldal hossza vagy szög nagysága visszavezethető valamilyen háromszöggel kapcsolatos összefüggésre vagy tételre. A háromszögek között van két kiemelt, melyekkel ebben a leckében foglalkozunk: a derékszögű és az egyenlő oldalú (szabályos). A derékszögű háromszög A derékszögű háromszög a többi típusnál gyakrabban […]
Geometria – Háromszögek csoportosítása
Időnként felmerülnek olyan kérdések, mint: „Mennyi cserép kell a tetőre?” vagy „Mekkora a telek területe?” Ezekre (és még rengeteg más kérdésre) a geometria és alterületei adják meg a választ: ó síkgeometria, térgeometria, koordinátageometria, de ilyen a vektor is. Ebben a leckében a szögek osztályozásával és a nevezetes szögpárokkal ismerkedtünk meg, a másodikban pedig elkezdjük kivesézni […]
Geometria – Szögek, szögpárok
A geometria a való életben is hasznos tudást ad, segítségével kiszámolható például, hogy hány négyzetméter csempe kell a fürdőszoba falára vagy éppen mennyi víz szükséges egy medence feltöltéséhez. Rengeteg alterülete van: síkgeometria, térgeometria, koordinátageometria, de ilyen a vektor is. Az első leckében a legfontosabb alapfogalmakkal ismerkedünk meg, úgy mint: szögek nagyságai és nevezetes szögpárok. Először […]
Valószínűségszámítás – Mintavétel
„Szerinted van rá esély, hogy rájön a műszakvezető, hogy a selejtes villanykörtéket mindig kivesszük a mintából, mielőtt beküldjük ellenőrzésre őket a nap végén?” Elárulom: van, a munka világában minden problémát vet fel: ha sok a selejt vagy ha túl gyakran nincs selejt. Aki dolgozik, az hibázik és nagyon kicsi a valószínűsége annak, hogy folyamatosan tökéletes […]
Valószínűségszámítás – Geometriai valószínűség
„Kizárt!”, „Tuti!” vagy „Szerinted van esélyem, hogy felvegyenek erre a pozícióra?”: a mindennapokban is gyakran használjuk a valószínűségszámítással (és eseményalgebrával) kapcsolatos fogalmakat: lehetetlen esemény, biztos esemény vagy éppen kicsi/nagy valószínűségű esemény. A valószínűségszámítás esélylatolgatással foglalkozik, nem véletlen, hogy sok tankönyvi példa szerencsejátékkal kapcsolatos, gondolj a magyar kártyára vagy éppen a kockadobásra. Ez alá besorolható rengeteg […]
Valószínűségszámítás – Klasszikus valószínűség
Biztosan te is mondtad már, hogy: „Áh, ez lehetetlen!”, „Biztos vagy te ebben?”, vagy „Ez nem valószínű!”: a mindennapi életben is gyakran használjuk a matematikai logikát, gyakrabban, mint gondolnád. Gondolkoztál már azon, hogy mennyi az esélye annak, hogy megnyered az ötöslottót? Elárulom, elég kicsi: 1 a kb. 44 millióhoz, azaz kerekítve: 0,000000023. Ez a lottós […]
Kombinatorika – Kombináció
Elgondolkoztál valaha azon, hogy hányféle különböző számkombinációt kellene megtenned az ötöslottón, hogy biztosan legyen telitalálatod? Segítek: 43 949 268-at. Igen, majdnem 44 milliót. Gondoltad volna? Maradj velem és ismerkedj meg a kombinálás tudományának alapjaival, ebben a cikkben a kombinációval. A kombinatorika esetszámlálással foglalkozik, például: hányféleképpen ülhet le egymás mellé 5 ember vagy hányféle módon választhatunk […]
Kombinatorika – Variáció
Tombolasorsolás, 5 különböző nyeremény, összesen 30 résztvevő – mindenkinek pontosan egy tombolaszelvénye van és mindenki maximum egyszer nyerhet. Gondolnád, hogy kicsivel több, mint 17 millió féle különböző kisorsolási lehetőség van? Pedig így van! Maradj velem és ismerkedj meg a kombinálás tudományának alapjaival, ebben a cikkben a variációval. A kombinatorika esetszámlálással foglalkozik, például: hányféleképpen ülhet le […]
Halmazok és halmazműveletek
A halmazok témakör a matematika egyik legalapvetőbb témaköre, sok-sok más anyagrésznél hasznosak az itt meglévő alapfogalmak. Ebben a bejegyzésben ezeket vesszük át. Halmaz alapfogalmak A halmaz valamilyen elemek összességét jelöli. Például a pozitív, páros számok halmazának tagjai a 2, 4, 6 és így tovább… Mondhatjuk, hogy ez egy végtelen számosságú halmaz, hiszen nem tudjuk megadni, […]
Egyenletrendszerek megoldása
Egyetemen is előfordulhat olyan eset, hogy egy 2 tagból álló egyenletrendszert kell megoldanod, például többváltozós függvényelemzésnél vagy éppen lineáris programozásnál. Ebben a bejegyzésben az egyenletrendszerek megoldásánák két módszerét fogom bemutatni: a behelyettesítős és az egyenlő együtthatók módszerét. Csapjunk bele! Amikor azt mondjuk, hogy egy egyenletrendszer megoldását keressük akkor valójában a két egyenlet metszéspontjára vagyunk kíváncsiak, […]
Nevezetes azonosságok
A nevezetes azonosságok sok bosszúságot okozhatnak az egyetemi matek alatt is, ha nem tudod azokat helyesen feloldani. Biztosan szisszent már fel a te középiskolai matektanárod is, amikor az (a+b)2 kifejezésre valaki (lehet éppen Te) válaszul a2+b2-t írtál – helytelenül. Ebben a bejegyzésben a leggyakrabban előforduló nevezetes azonosságokat nézzük át – kezdjünk is bele! Két tag […]
Statisztika – Középmutatók
A statisztikai adatgyűjtés végén jobb esetben van egy nagy kupanc adatunk: számok és betűk. A sok-sok szám, ami előttünk van lássuk be, nem túl bizalomgerjesztő vagy sokatmondó, sőt, kifejezetten unalmas. Ezekből így nyersen nem tudunk semmi érdekeset leolvasni. Mivel a leíró statisztika rész elég hosszú, ezért 3 különböző bejegyzésre osztottam az anyagot: a leíró statisztikában […]
Függvényelemzés lépésről lépésre
Az egyetemi matek egyik fontos tananyaga a függvényelemzés, amihez sok új anyagot és módszert fogsz majd megtanulni. Ha középszintű érettségit tettél, akkor a határérték-számításról és a deriválásról nem tanultál – na de majd hamarosan eljön ez is. Ebben a bejegyzésben a fontosabb alapfogalmakat fogom bemutatni, a módszerek különösebb említése nélkül. Értelmezési tartomány Jelölése általában Df-el […]
Teljes négyzetté alakítás
A teljes négyzetté alakítás módszere a másodfokú függvényeknél hasznos. Ennek (az egyébként nem túl bonyolult átalakításnak) hála könnyen leolvashatóvá válik a függvényen végzett “tologatás”, avagy kicsit csúnyábban: a transzformáció. Sőt, ezáltal a függvény szélsőértékének helyét és értékét is meg tudjuk mondani. Egyszerű, kiemelést nem igénylő függvény teljes négyzetté alakítása Bonyolultabb, kiemelést igénylő függvény teljes négyzetté […]
Kamatszámítás – egyszerű és kamatos kamat
A való életben gyakrabban találkozni számtani és mértani sorozatokkal, mint ahogy gondolnánk. Elég csak azokra az esetekre gondolni, amikor pénzt helyezel el a bankba vagy éppen hitelt veszel fel. Ahhoz, hogy megértsük ezeket logikáját, elengedhetetlen a sorozatok ismerete. Egy korábbi leckében már megismerkedtünk a számtani és mértani sorozatokkal (ezt IDE kattintva éred el), a mai […]