Vajon hány köbméter víz kell egy 3 méter átmérőjű, 90 cm magas medencébe vagy egy téglatest alakú akváriumba? Ezekre és sok más hasonló, az életben is előforduló problémára ad választ a geometrián belül a felszín és a térfogatszámítás.
Ebben a leckében a kocka, a téglatest, a hasáb, valamint a forgáshenger felszínének és térfogatának kiszámítási módszereivel ismerkedünk meg.
A kocka, a téglatest, a hasáb és a forgáshenger is hengerszerű test. Emlékeztetőül, hogy mit is jelent az, hogy hengerszerű test: egy síkidom kerületén – önmagával párhuzamosan – körülvezetünk egy egyenest, melynek a síkidom síkjával egyetlen közös pontja van. Ezt elmetsszük a síkidom eredeti síkjával (alaplap) és egy vele párhuzamos síkkal (fedlap).
Hengerszerű testek jellemzői és ábrái
Kocka
A “a” oldalhosszúságú (élű) kockát 6 egybevágó (azaz azonos területű) négyzetlap alkotja.
Téglatest
Az “a”, “b” és “c” oldalhosszúságú téglatestet 6 téglalap alkotja, melynek 2 darab a*b, 2 darab a*c és 2 darab b*c nagyságú oldallapja van.
Hasáb
A hasáb alaplapja és fedlapja valamilyen sokszög lehet, míg palástját téglalapok alkotják (ezek számát a sokszög oldalainak száma határozza meg).
Forgáshenger (körhenger)
A forgáshenger (vagy más néven körhenger) alaplapja és fedlapja is kör (egybevágóak), míg palástja egy téglalap (ennek két oldalát a henger magassága és a kör kerülete adja).
A hengerszerű testek felszíne és térfogata
Az alábbi ábrák alatt láthatod a különböző felszín (A) és térfogat (V) képleteket.
Térgeometria gyakorló feladatok
1. feladat: Egy szabályos, 6 cm oldalhosszúságú háromszög alapú egyenes hasáb felszíne 211,18 cm2. Milyen magas a hasáb?
A hasáb felszínét három összetevő területe alkotja: az alaplap, a fedlap és a palást, melyekből az első kettő területe megegyezik (hiszen egybevágóak).
A hasáb palástját esetünkben három darab egybevágó téglalap alkotja, melynek egyik oldalát (a háromszög oldalhossza) ismerjük: 6 cm, a másik oldala (ami egyúttal a hasáb magassága) viszont ismeretlen, legyen ez „x”. Egy téglalap területe tehát 6*x, míg a három téglalapé összesen (palást) 3*6*x, azaz 18*x.
Szabályos háromszögben mindegyik belső szög 60°. Mivel minden oldalának hossza (és szöge is) ismert, ezért célszerű a területképletek közül az alábbit használni:
A hasáb teljes felszíne így számolható ki (a 2-es szorzóra azért van szükség, mert alaplap és fedlap is van). Az egyenletet rendezzük x-re és meg is kapjuk a hasáb magasságát.:
Válasz: A hasáb magassága 10 cm.
2. feladat: Vásároltunk egy 3 méter átmérőjű, 90 cm magas körhenger alakú medencét, melyet a teljes magassága 90%-áig töltünk fel vízzel. Mennyibe kerül így feltölteni a medencét, ha ismert, hogy egy köbméter víz ára 250 Ft?
A feladat megoldásához szükségünk van először is a medence térfogatára. Bár a körhenger alakú medence magassága 90 cm, de észre kell vennünk, hogy csak 90%-ig töltjük, azaz 90*0,9 = 81 cm (0,81 méter) magasságig telik meg vízzel. A körhenger térfogatának kiszámításához tudnunk kell az alapkör sugarát és a test magasságát. Az alapkör sugara a 3 méteres átmérő fele, azaz 1,5 méter.:
Válasz: A medence feltöltése 5,73*250 ≈ 1433 Ft-ba kerül.
