Geometria – Koordinátageometria

A repülőgépek helyzetét, a különböző tájegységek elhelyezkedését vagy éppen egy-egy fénykép pixeleit (például arcfelismerés) is vizsgálhatjuk a koordinátageometria eszközeivel. A különböző síkidomokat, például egy paralelogrammát vagy egy kört elhelyezhetünk koordinátarendszerben is, így a csúcsok koordinátákká válnak és a koordinátageometria eszközeit is be lehet vetni a számítások során. Meghatározhatjuk egy-egy csúcs helyzetét, oldalának hosszát vagy éppen szögének nagyságát.

A vektoroknak, melyet egy korábbi leckében vettünk át (ITT éred el), nagy hasznát lehet venni a koordinátageometria során is, így egy vektor kezdő és végpontját is megadhatjuk koordinátákkal.

Két pont távolsága

Ha egy szakasz (vektor) hosszára (azaz a kezdőpont és végpont távolságára) vagyunk kíváncsiak (jelölése: d), azt az alábbi képlettel számíthatjuk ki, ha az egyik pont P₁(x₁; y₁), míg a másik pont P₂(x₂; y₂):

Két ponton átmenő egyenes egyenlete

Arra is szükség lehet, hogy meg tudjuk adni annak az egyenesnek az egyenletét, mely áthalad a P₁(x₁; y₁) és a P₂(x₂; y₂) pontokon. A szükséges képlet:

Két egyenes metszéspontja

Előfordulhat az is, hogy azt kell megkeresnünk, hogy két egyenes hol metszi egymást, ezt így fogjuk tudni megmondani: a két egyenesből egyenletrendszert képzünk és megoldjuk.

Egyenesek helyzete

Vonatkozhatnak arra is kérdések, hogy két egyenes milyen helyzetű egymáshoz képest: párhuzamosak vagy merőlegesek egymásra. Ennek megállapításához az egyenesek meredekségét (y-ra való rendezés után az „x” előtti tag) kell megadnunk, majd összevetni őket:

• Ha egyeznek a meredekségek, akkor a két egyenes párhuzamos.
• Ha a két egyenes meredekségének szorzata -1, akkor a két egyenes merőleges egymásra.

Kör egyenlete

Kör egyenletének felírása, illetve az egyenletből a kör jellemzőinek megadása is előkerülhet az érettségin. Ha a kör középpontja az (u; v) koordinátákkal adható meg, sugara pedig „r”, akkor az alábbi egyenlettel írható fel a kör:

Koordinátageometria témakör gyakorló feladatok

1. feladat: Add meg a 2x+6y=26 és a 3x+5y=27 egyenesek metszéspontjának koordinátáit!

A két egyenest felírjuk egy egyenletrendszer két tagjaként és megoldjuk:

1. 2x + 6y = 26
2. 3x + 5y = 27

Célszerű az első egyenest x-re rendezni, hiszen mind a 6, mind a 26 maradék nélkül osztható 2-vel:

2x + 6y = 26 → 2x = 26 – 6y → x = 13 – 3y

A második egyenletbe behelyettesítjük x helyére a fentit, majd megoldjuk y-ra az egyenletet:

• 3*(13 – 3y) + 5y = 27
• 39 – 9y + 5y = 27
• 39 – 4y = 27
• -4y = – 12
• y = 3

A kapott y értékét visszahelyettesítjük az egyenletrendszer valamelyik tagjába (most az I.-be):

• 2x + 6*3 = 26
• 2x + 18 = 26
• 2x = 8
• x = 4

Válasz: A két egyenes az x = 4 és y = 3 (vagy így is megadhatjuk: (4; 3)) pontban metszi egymást.

2. feladat: Egy téglalap alakú kertet és néhány tereptárgyat elhelyeztünk egy derékszögű koordinátarendszerben, ahol 1 egység 5 méternek felel meg. Egy fa törzse a (2; 3) pontban, míg egy bokor a (4; 5) pontban található. Hány méter távolságra van a fa és a bokor?

Jelöljük a fa helyzetét P₁ (x₁ = 2; y₁ = 3), a bokor helyzetét P₂ (x₂ = 4; y₂ = 5) ponttal. Két pont távolságához az alábbi képletet kell használnunk:

Válasz: A fa és a bokor 2,83 egységnyire, azaz 2,83*5 = 14,15 méter távolságra van egymástól.