Mennyi tetőcserép szükséges egy ház tetejének befedésére? Mennyi festékanyag szükséges egy bowlinglabda befedésére? Ezekre és sok más hasonló, az életben is előforduló problémára ad választ a geometrián belül a felszín és a térfogatszámítás.
Ebben a leckében a gúla, a csonkagúla, a kúp, a csonkakúp, valamint a gömb felszínének és térfogatának kiszámítási módszereivel ismerkedünk meg.
A gúla és a forgáskúp is kúpszerű test. Emlékeztetőül, hogy mit is jelent az, hogy kúpszerű test: egy síkidom kerületén úgy vezetünk körül egy egyenest, hogy az állandóan illeszkedjen egy adott, a síkidom síkján kívüli pontra (ún. csúcspontra).
A gömb pedig egy gömbfelület: egy ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben.
A kúpszerű testek jellemzői és ábrái
Gúla és csonkagúla
A gúla alaplapja valamilyen sokszög lehet, míg palástját háromszögek alkotják (ezek számát a sokszög oldalainak száma határozza meg).
A csonkagúla alaplapja és fedlapja is valamilyen hasonló sokszög lehet, míg palástját trapézok alkotják (ezek számát a sokszög oldalainak száma határozza meg).
(Forgás)kúp és csonkakúp
A forgáskúp alaplapja kör, míg palástja egy körcikk (a köríves rész hossza megegyezik a kör kerületének hosszával).
A csonkakúp alaplapja és fedlapja is kör, míg palástja egy körgyűrű (a hosszabb köríves rész hossza megegyezik a nagyobb kör kerületének hosszával, míg a kisebb köríves rész hossza a kisebb kör kerületének hosszával).
A gömbfelület jellemzői és ábrája
Gömb
Definíció szerint a gömb egy ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben. A gömböt úgy kaphatjuk meg, ha egy kört az átmérőjénél körbeforgatunk.
A kúpszerű testek és a gömbfelület felszíne és térfogata
Az alábbi ábrák alatt láthatod a különböző felszín (A) és térfogat (V) képleteket.
Térgeometria gyakorló feladatok
1. feladat: Legfeljebb hány köbméteres gömb fér el egy 125 köbméter térfogatú kockában?
A kockába írható, (vagy mondjuk úgy) tehető gömb átmérője pontosan megegyezik a kocka oldalhosszával. A 125 köbméter térfogatú kocka oldalhossza:
Ha a gömb átmérője 5 méter, akkor sugara 2,5 méter, így pedig térfogata:
Válasz: Legfeljebb 65,45 köbméteres gömb férne el benne.
2. feladat: Egy, a képen is látható négyszög alapú csonkagúla kaspó alapjának éle 10 cm, fedlapjának éle 12 cm, oldaléle pedig 8 cm. Egy kilogramm műanyagból 2 négyzetméternyi ilyen kaspó alapanyag készíthető a megfelelő vastagságban. Hány virágkaspót készíthetünk 10 kg műanyagból?
A feladat megoldásához a kaspó felületét kell kiszámolunk. Ez áll 2 darab négyzetből (alaplap és fedlap), valamint 4 darab egybevágó trapézból (oldallapok, összeadva a területüket: palást). Az alaplap területe 10*10 = 100 cm2, míg a fedlapé 12*12 = 144 cm2. Vegyük észre: a fedlapra nem lesz szükségünk, mert egy kaspó felülről nem fedett.
A (szimmetrikus) trapéz területéhez kellenek a párhuzamos oldalak hossza (ezek ismertek, 10 cm és 12 cm), valamint a trapéz magassága (ezt nem tudjuk). Mivel azonban a trapéz nem párhuzamos oldalainak hossza ismert (8 cm), ezért egy egyszerű Pitagorasz-tétellel megadhatjuk a magasságát is (ábrán kékkel satírozott háromszögre felírva).:
A trapéz területe:
Tehát a csonkagúla felülete (kivéve a fedlapot) (a 4-es szorzóra azért van szükség, mert a palástot 4 darab trapéz alkotja.):
1 négyzetméter az 100*100 cm, azaz 10.000 cm2-nek felel meg. A feladat szövege alapján 1 kg műanyagból 2 m2 kaspó felület készíthető el, míg 10 kg-ból ennek a tízszerese, azaz 20 m2 = 200.000 cm2.
Válasz: 10 kg műanyagból 200.000/449,36 = 445 darab kaspó készíthető el.
