A kör gyakran megjelenő síkidom a mindennapokban is, gondolj csak a pizzára, egy óra számlapjára vagy akár egyes épületek gyönyörű kör alakú ablakaira. A körrel kapcsolatos fogalmak és összefüggések ismerete segítséget nyújthat például abban, hogy egy körlocsoló mekkora területet képes vízzel ellátni vagy össze tudjuk hasonlítani, hogy jobban megéri-e egy 32 cm átmérőjű pizza helyett dupla áron egy 50 cm átmérőjűt rendelni.
A kör definíciója
A definíció szerint a kör azon pontok halmaza a síkban, melyek egy ponttól azonos távolságra vannak. Gondolj vissza arra, hogyan szerkesztettél kört matekórán a körződdel: beszúrtad egy pontba a tűt (kör középpontja), kinyitottad a ceruzás részt bizonyos szélességre (kör sugara), majd megrajzoltad a kört a lapon.
A kör részei
A kör részeinek ismerete elengedhetetlen a különböző feladatok megoldása során.
- Középpont: A kör közepe, ahonnan a körív minden pontja egyelő távolságra van.
- Sugár: A kör középpontját a kör egy pontjával összekötő szakasz.
- Átmérő: A kör két pontját összekötő olyan szakasz, mely áthalad a kör középpontján. A kör átmérőjének hossza pontosan a kör sugarának kétszerese.
- Érintő: A kör síkjának egy olyan egyenese, amelynek pontosan egy közös pontja van a körrel. Fontos tudni, hogy az érintőből a kör középpontjába húzott sugár mindig merőleges az érintési pontban. Továbbá azt is, hogy egy külső pontból a körhöz húzott két érintő szakasz hossza mindig azonos.
- Húr: A körvonal bármely két pontját összekötő szakasz.
- Szelő: A körvonal bármely két pontján áthaladó egyenes.
- Körív: A kör kerülete.
A kör kerülete és területe
A kör kerülete a körív teljes hosszát jelenti, míg területe a köríven belüli rész nagyságát. Van azonban 3 olyan terület-részlet is a kör kapcsán, mely előjöhet érettségin: körcikk, körszelet és körgyűrű.
- Középponti szög (ábrán: α): Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor ezt a szöget középponti szögnek hívjuk, mely arányos a körívvel és a hozzá tartozó körcikk területével.
- Körív (ábrán: i): A kör kerületének azon része, amelyet a középponti szöget alkotó sugarak metszenek ki.
- Körcikk: A kör egy körívének és ennek végpontjaiból a kör középpontjába húzott két sugár által határolt terület.
- Körszelet: A körszelet a körnek azon része, melyet egy húr és a húr két végpontját összekötő körív határol
- Körgyűrű: A körgyűrű a körnek azon része, melyet két azonos középpontú, különböző sugarú (ábrán: “r” a nagyobb, míg “q” a kisebb sugarú kör) körvonal határol.
A Thálesz-tétel és annak megfordítása
A Thálesz-tétel kimondja, hogy ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körív bármely pontjával, akkor olyan derékszögű háromszöget kapunk, melynek átfogója a kör átmérője, a derékszög pedig a körívnél található.
A Thálesz-tétel megfordítása szerint a derékszögű háromszög körülírt körének átmérője a háromszög átfogója, középpontja pedig az átfogó felezőpontja.
Körrel kapcsolatos gyakorló feladat
Egy körlocsoló a földbe szúrás helyétől maximum 7 méter távolságra képes locsolni. A 20 méter oldalhosszúságú négyzet alapú kert közepére elhelyezett ilyen locsoló a kert területének hány százalékára nem juttat vizet?
A négyzet alakú kert területe 20*20 = 400 négyzetméter, míg a körlocsoló által locsolt terület nagyságát a kör területe adja:
A locsoló által el nem ért terület nagyságát a kert és a locsolt terület nagyságának különbsége adja, azaz: 400 m2 – 153,94 m2 = 246,06 m2. Ez a kert teljes területének 246,06/400 = 0,615-öd része, tehát a kert 61,5%-át nem locsolja.
