Gyakran előfordul, hogy olyan alakzattal találjuk szembe magunkat, melyek nem három- vagy négyszögek: ötszögek, hatszögek, tízszögek – például egy fürdőszobai fal csempézésekor. Feltéve, hogy ezek szabályos konvex sokszögek (minden belső szögük és oldaluk hossza egyezik), vannak hozzájuk tartozó képletek. Nem szabályos esetekben is tudunk jellemzőket számolni (oldalhossz, szög, terület), ám ezekre nincsenek egzakt képletek, mindig az adott feladat alapján kell megalkotnunk őket.
Ebben a leckében a sokszögek legfontosabb jellemzőit tekintjük át.
Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma
Egy-egy csúcsból átlót a saját csúcsba és a két szomszédos csúcsba nem tudunk húzni, így ha összesen n csúcs van, akkor egy csúcsból (n-3) db átló húzható be. Összesen n csúcsból n*(n-3), viszont így minden átlót kétszer számoltunk, ezért osztjuk kettővel:
Az n oldalú sokszög belső szögeire vonatkozó összefüggések
Egy n csúcsú sokszög felbontható (n-2) darab háromszögre, egy-egy háromszög belső szögeinek összege pedig 180°, így a teljes belső szögösszeg:
Szabályos n-szög esetén a teljes belső szögösszeget osztjuk a szögek számával, hogy megkapjuk egy belső szögét:
Az n oldalú konvex sokszög külső szögeire vonatkozó összefüggések
Mivel minden csúcsnál a külső és belső szögek összege 180°, ezért egy n oldalú szabályos sokszög esetén ez n∙180°, ebből levonjuk a teljes belső szögösszeget, majd felbontva a zárójelet és összevonva, amit lehet, ezt kapjuk:
Ha a teljes külső szögösszeg 360°, akkor az egy csúcshoz tartozó külső szög nagysága:
Az n oldalú szabályos sokszög kerülete és területe
A két lenti képletben az alábbi betűk az alábbi részeket jelentik:
- „a” az oldal hossza,
- „r” a beírható kör sugara,
- „R” a körülírható kör sugara és
- φ (ejtsd: fí) az n oldalú szabályos sokszögbe beírható n darab egyenlő szárú háromszög egy központi szögének nagysága.
Sokszögek és jellemzőik – két gyakorló feladat
1. feladat: Egy szabályos konvex sokszög egyik belső szöge 140°. Hány oldalú ez a síkidom?
Egy szabályos n-oldalú konvex sokszög egy belső szögének képletét alkalmazva jutunk el az oldalak számához (n). Az egyenlet felírása után rendezzük azt n-re:
Válasz: A síkidom egy szabályos konvex kilencszög.
2. feladat: Egy szabályos hatszög alapú csempe oldalainak hossza 6 cm. Határozd meg a síkidom területét!
Mivel hatszögről van szó, ezért n = 6. A hatszöget hat darab egybevágó egyenlő szárú, sőt esetünkben szabályos háromszög alkotja. Ebből következik, hogy a háromszög belső szögei 60° nagyságúak, valamint minden oldala 6 cm hosszú.
A szabályos n-szög területképletei közül bármelyiket használhatjuk, de könnyebb dolgunk lesz a másodikkal. Az „R” a körülírható kör sugarát jelenti, ami egyezik a háromszög szárának hosszával, esetünkben ez 6 cm. Így a terület:
Válasz: Egy darab csempe területe 93,53 cm2.
