Amikor a bank kamatot fizet a betett pénzünkre, amikor fizetésemelést kapunk vagy amikor éppen hitelt törlesztünk – ez csak néhány terület, de van egy közös bennük: mind modellezhető, mint matematikai sorozat. Ebben a leckében a számtani és mértani sorozatok alapjaival fogunk megismerkedni, melyeket későbbi anyagokban is felhasználunk (kamat- és járadékszámítás).

Számsorozatok fogalma és jelölései

A számsorozatok tulajdonképpen függvényeket alkotnak, egy kis megkötéssel: a pozitív egész számok halmazán (1; 2; 3; …) értelmezettek és az értékkészletük a valós számok.

A sorozat első tagját jellemzően a₁-el szokták jelölni, míg n-edik tagját a_n-nel. Időnként arra vonatkozó kérdéssel is lehet találkozni, hogy mennyi az első n tagjának összege, ezt S_n-el szokás jelölni. Álljon itt egy példa a fogalmak szemléltetésére: úgy döntünk, hogy 30 héten keresztül minden héten félreteszünk valamekkora összeget. Az első héten 500 Ft-ot teszünk félre (a₁), a második héttől kezdve minden héten valamennyivel többet – az n-edik héten a_n Ft-ot. A 30. hét végére összegyűlt összeg lesz az S₃₀.

Sorozatok típusai

Számtani sorozat

Fogalma: Számtani sorozatról akkor beszélhetünk, ha a második tagtól kezdve az egymást követő elemek különbsége állandó, azaz például a harmadik tag 5-tel több, mint a második, míg a negyedik tag szintén 5-tel több, mint a harmadik.

Állandó: A különbség (differencia) mértékét d-vel szokás jelölni és mindig a soron következő tag és a megelőző tag különbségéből számíthatjuk ki.:

Általános elem: A sorozat egy tetszőleges a_n elemét így adhatjuk meg:

Közepek: Egy tetszőleges a_n tag értékét az őt közrefogó tagok számtani átlagából kapjuk meg.:

Összeg: Ha egy számtani sorozat első n tagjának összegét keressük (például az első 3 tag összege: S₃ = a₁+a₂+a₃), akkor arra két képlet is rendelkezésünkre áll, attól függően milyen adatokat ismerünk.:

Mértani sorozat

Fogalma: Mértani sorozatról akkor beszélhetünk, ha a második tagtól kezdve az egymást követő elemek hányadosa állandó, azaz például a harmadik tag kétszer akkora, mint a második, míg a negyedik tag szintén kétszer akkora, mint a harmadik.

Állandó: A hányadost (kvóciens) q-val szokás jelölni és mindig a soron következő tag és a megelőző tag hányadosából számíthatjuk ki.:

Általános elem: A sorozat egy tetszőleges a_n elemét így adhatjuk meg:

Közepek: Egy tetszőleges a_n tag értékét az őt közrefogó tagok mértani átlagából kapjuk meg.:

Összeg: Ha egy mértani sorozat első n tagjának összegét keressük (például az első 3 tag összege: S₃ = a₁+a₂+a₃), akkor arra az alábbi képlet használható:

Ha netán a q értéke 1, azaz minden tag megegyezik, akkor az összegzőképlet egyszerűbben is megadható (de az előző is használható):

Számtani és mértani sorozatok gyakorló feladatok

1. feladat: Egy számtani sorozat első tagja 5, tizedik tagja 41. Add meg a sorozat 5. tagját!

Az alábbi két tagot ismerjük: a₁ = 5 és a₁₀ = 41 és az a₅-t keressük. Két tag ismerete alapján könnyen meghatározhatjuk a sorozat különbséget (differencia).:

A sorozat ötödik tagját ezután így kapjuk meg:

Válasz: A sorozat ötödik tagja 21.

2. feladat: Diána úgy dönt, hogy növeli az ivóvízfogyasztását egészsége érdekében. Az első napon 1200 ml vizet fogyasztott el, a második naptól kezdve minden nap ugyanannyiad részével növelte a napi mennyiséget, így a hetedik napon már 1500 ml-nél járt. Naponta mennyivel növelte a vízfogyasztást?

Bár a feladat szövege nem tartalmazza a mértani kifejezést, de az a szövegrész, hogy „ugyanannyiad részével növelte a napi mennyiséget” egyértelművé teszi ezt (számtani sorozat esetén „ugyanannyival növelte” szerepelne).

Ismerjük: a₁ = 1200, a₇ = 1500 és keressük a q-t, azaz a hányadost (kvóciens). Felhasználjuk az általános elemre vonatkozó összefüggést:

Rendezzük az egyenletet q-ra, majd hatodik gyököt vonunk mindkét oldalból:

A kapott eredményt szorozzuk 100-zal, így %-os formában kapjuk meg, amit keresünk. Vigyázzunk rá, hogy a növekedés az csak a 100% feletti rész, tehát a 3,8%.

Válasz: Diána minden nap 3,8%-kal több vizet fogyasztott.