Az oszthatóság kérdése a matematikai gondolkodás-számolás egyik alapja.

Oszthatóság a természetes számok körében

Egy „a” természetes szám osztójának nevezzük „b” természetes számot, ha létezik olyan „c” természetes szám, melyre teljesül, hogy a = b*c, azaz a-t kapunk, ha b-t és c-t összeszorozzuk. Például a 3 osztója a 6-nak, méghozzá kétszer van meg benne, de például a 2 nem osztója a 3-nak.

Van néhány fontosabb oszthatósági szabály, melynek segítségével eldönthetjük, hogy egy adott számnak osztója-e egy másik vagy sem.

Fontosabb oszthatósági szabályok

• 2-vel való oszthatóság: ha a szám utolsó számjegye 0, 2, 4, 6 vagy 8
• 3-mal való oszthatóság: ha a szám számjegyeinek összege osztható 3-mal
• 4-gyel való oszthatóság: ha a szám utolsó két számjegyéből alkotott szám osztható 4-gyel
• 5-tel való oszthatóság: ha a szám 0-ra vagy 5-re végződik
• 6-tal való oszthatóság: ha a szám osztható 2-vel és 3-mal is
• 8-cal való oszthatóság: ha a szám utolsó három számjegyéből alkotott szám osztható 8-cal
• 9-cel való oszthatóság: ha a szám számjegyeinek összege osztható 9-cel

Prímszámok és összetett számok

Az oszthatósághoz szorosan kötődnek a prímszámok. Azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van (az 1 és önmaguk), azokat prímszámoknak nevezzük, míg ha kettőnél több osztójuk van, akkor őket összetett számoknak.

A számelmélet alaptétele, hogy minden n > 1 összetett egész szám egyértelműen felbontható prímszámok szorzatára.

Legkisebb közös többszörös és legnagyobb közös osztó

Két vagy több pozitív egész szám legnagyobb közös osztójának a vizsgált számok közös osztói közül a legnagyobbat nevezzük. Ha két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója az 1, akkor ezeket relatív prímszámoknak nevezzük.

Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszörösén a vizsgált számok közös többszörösei közül a legkisebbet nevezzük.

Oszthatósági szabályok gyakorló feladatok

1. feladat: Határozd meg a 168 és a 288 legnagyobb közös osztóját!

Először felírjuk mindkét szám prímtényezőkre bontott alakját. Ehhez elkezdjük osztani a fenti számokat a lehető legkisebb prímszámmal, egészen eddig, míg 1-et nem kapunk eredményül, ezt követően felírjuk a szorzatot.

A 168 prímtényezős felbontása: 168 = 2³*3*7

A 288 prímtényezős felbontása: 288 = 2⁵*3²

A 168 és a 288 legnagyobb közös osztóját úgy kapjuk meg, ha a közös tényezők szorzatát vesszük a legkisebb hatványon. Ez alapján a 2³*3 = 24 a legnagyobb közös osztó.

2. feladat: Mennyi lehet X értéke -ben, ha a keresett ötjegyű szám osztható 3-mal?

• 3-mal akkor osztható egy szám, ha a szám számjegyeinek összege osztható 3-mal.
• Először adjuk össze az eddigi számjegyek értékét: 1+2+3+4 = 10. A 10 nem osztható 3-mal, így X helyén nem állhat 0. Ha megyünk tovább, akkor a 12 (ha az X = 2), a 15 (ha az X = 5) és a 18 (ha az X = 8) az, ami osztható 3-mal.
• Válasz: Ha X helyére 2, 5 vagy 8 kerül, akkor az ötjegyű szám osztható lesz 3-mal.