Geometria – Vektorok

A geometria egyik alterülete a vektorok és ehhez szorosan kapcsolódik a koordinátageometria is. Vektorok segítségével leírható síkidomok és testek mozgatása, így a való életben is használható tudást ad, például a különböző számítógépes játékokban a karakterek mozgásának jellemzésére, de a grafikai tervezéshez vagy éppen az autózás során használt GPS-nél is használnak vektorokat és koordinátákat. Ebben a leckében a legfontosabb alapfogalmakat és műveletekkel ismerkedünk meg, a végén pedig néhány gyakorló feladat is helyet kapott.

Vektor alapfogalmak

Röviden: a vektor az egy irányított szakasz. Kicsit bővebben: szakasz, mert van kezdő és végpontja és irányított, hiszen az egyik pontból a másikba „mutat”.  Ha az A kezdőpontú, B végpontú vektor akarjuk felírni, azt megtehetjük így: vagy jelölhetjük egy aláhúzott betűvel is, például a-val.

Ha van a kert végében egy fa, a közepén egy kút, akkor, ha elmész a fától a kútig egy egyenes úton, az megadható vektorral. A fától a kútig megtett út hosszát a vektor abszolútértékének nevezzük, jelölése: |a|. Ha a kúttól visszamész a fához ugyanazon az útvonalon, akkor ezt az utat ellentett vektorral jellemezhetjük: az út hossza azonos, de az iránya ellentétes.

Vektorműveletek

Két vektor összege

Két vektor összeadását kétféle módszerrel is megtehetjük:

• Paralelogramma módszer: A két vektort azonos kezdőpontba toljuk, kiegészítjük a vektorokkal párhuzamos egyenesekkel a két vektort egy paralelogrammává (az ábrán látható módon) és az összegvektor az a közös kezdőpontból a szemközti csúcsba mutató vektor lesz.
• Háromszög módszer: Az egyik (első) vektor végpontjába toljuk a másik (második) vektor kezdőpontját és az összegvektor az első vektor kezdőpontjából a második vektor végpontjába mutató vektor lesz.

Két vektor különbsége

Két vektor kivonását (különbségét) úgy szemléltethetjük, hogy a két vektort közös kezdőpontba toljuk és a különbségvektor a két vektor végpontjai között keletkezik. Iránya sem mindegy: a különbségvektor abba a végpontba mutat, amelyik vektorból kivonjuk a másikat.

Vektor skalárszorosa

Vektor skalárszorosával érhetjük el azt, hogy a vektor hosszát vagy irányát megváltoztassuk. Ha egy vektort 2-vel szorzunk, akkor iránya azonos lesz, de kétszer olyan hosszú. Ha viszont -0,5-tel szorzunk, akkor a negatív előjel miatt iránya ellentétes lesz, hossza pedig feleannyi.

Vektorok a koordinátarendszerben

A vektorokat a könnyebb kezelhetőség érdekében koordinátarendszerben is elhelyezhetjük. Amikor egy vektort koordinátákkal adunk meg, például: az a vektor koordinátái (3; 4), akkor azt úgy kell érteni, hogy az a vektor kezdőpontja az origó (0;0), a végpontja pedig a megadott koordináták.

Két, koordinátáival megadott vektor összegvektora úgy képezhető, ha a két vektor megfelelő koordinátáit összeadjuk, míg különbségvektora úgy, ha kivonjuk. A skalárral (számmal) való szorzás is értelemszerűen működik: a vektor mindkét koordinátáját szorozzuk az adott számmal.

Egy szakasz felezőpontjának koordinátái a szakasz kezdő és végpontjának a megfelelő koordinátáik számtani átlagából adhat meg. Ha az A kezdőpont (a₁; b₁) és a B végpont pedig (a₂; b₂), akkor az AB szakasz felezőpontja (F pont):

Vektor témakör gyakorló feladatok

1. feladat: Adott a lent látható négyzet. Legyen az AB oldala az a vektor, az AD oldala pedig a b vektor. Az F pont a BC oldal felezőpontja. Fejezd ki az a és b vektor segítségével az alábbiakat:

a) Vegyük észre, hogy a B-ből az F pontba mutató vektor párhuzamos b vektorral, hossza pedig annak fele. A megoldás: 1/2*b

b) Az egyszerűség kedvéért először nézzük meg az A-ból a C-be mutató vektort. Látjuk az ábra alapján, hogy az a és b vektorok kezdőpontjából mutat a paralelogramma (esetünkben négyzet) szemközti csúcsába, az tehát az a és b vektor összege: a+b.

A iránya viszont pont az ellentettje ennek, azaz a megoldás: -(a+b)

2. feladat: Egy téglalap alakú kertet és néhány tereptárgyat elhelyeztünk egy derékszögű koordinátarendszerben. Egy fa törzse a (2; 3) pontban, míg egy bokor a (4; 5) pontban található. Add meg a kertben lévő medence koordinátáit, ha tudjuk, hogy a bokor az a medence és a fa közötti egyenes útvonal felénél található!

Ide már megérkeztek a koordináták is: a fa (2; 3), míg a bokor (4; 5). A medence koordinátáit jelöljük (x₁, x₂)-vel (bármilyen jelölést alkalmazhatunk). Tudjuk, hogy a bokor az a medence és a fa közötti egyenes útvonal felénél található. Azaz, ha a szakasz felezőpontjára felírt képletet használjuk, akkor most a felezőpont két koordinátája ismert, illetve az szakasz egyik végpontja.

A medence első koordinátája (x₁):

A medence második koordinátája (x₂):

Válasz: A medence a (6; 7) pontban található.