Ha hitelt veszel fel a banktól, majd azt minden évben törleszted vagy éppen minden évben (hónapban) elhelyezel egy összeget, hogy összegyűljön a kinézett laptopra szánt pénzed, akkor a háttérben valójában a sorozatok bújnak meg.
Egy korábbi leckében már megismerkedtünk a számtani és mértani sorozatok egyik alkalmazásával, a kamatszámítással (ezt IDE kattintva éred el), a mai leckében egy másik területtel foglalkozunk, ez pedig a járadékszámítás.

Járadékszámítás

A járadékszámítás során felhasználjuk a mértani sorozat összegképletét – minimális módosításokkal – hiszen lényegében ugyanaz történik itt is. Van néhány tagja a sorozatnak – például 5 éven át minden év elején elhelyeztünk bankban 200 000 Ft-ot, van egy kvóciens – esetünkben amennyi kamatot fizet évente a bank (például 5%-ot) és van maga a tagok összege, azaz hogy mennyi pénzünk gyűlt össze 5 év alatt.

Gyűjtőjáradék

A gyűjtőjáradék lényege röviden: bizonyos időszakon keresztül (n) minden időszak elején elhelyezel egy bizonyos összeget (a) a bankba kamatos kamatra, melyre a bank időszakonként p% kamatot fizet. Az időszak eltelte után S_n összeget vehetsz ki a bankból.

A nagy különbség a kamatos kamat és a gyűjtőjáradék között, hogy míg a kamatos kamatnál egyszer helyezel el egy 0. időpillanatban egy összeget, addig a gyűjtőjáradéknél minden egyes időszak elején elhelyezed ugyanazt a fix összeget.

A gyűjtőjáradék képletében általában – akárcsak a kamatos kamatnál – nem a p%, hanem a kamattényező (q) szerepel, melyet ugyanúgy lehet megadni (q = 1 + p%/100):

Törlesztőjáradék (hitelfelvétel)

A törlesztőjáradék lényege röviden: felveszel egy T összegű hitelt egy banktól, melyet n időszakon keresztül törlesztesz (fizetsz vissza), minden év végén azonos, A nagyságú összegekben. A bank minden év elején a fennálló tőketartozásra p% kamatot számít fel.

A törlesztőjáradék képlete (a benne szereplő q kamattényező a szokásos módon számolható):

Járadékszámítással kapcsolatos gyakorló feladat

Sándor úgy döntött, hogy nem egyszer helyez el pénzt a bankban, hanem 10 éven keresztül minden év elején 60 000 Ft-ot, melyre a bank évi 7% kamatos kamatot fizet. Mekkora összeggel fog rendelkezni Sándor 10 év múlva? A válaszodat egész ezer forintban add meg.

A kamatos kamatozás logikájával ellentétben itt nem csak egyszer került elhelyezésre egy összeg, hanem 10 éven át minden év elején folyamatosan, ezért a gyűjtőjáradék képlete szükséges. Ismertek az alábbiak:

• n = 10 év (ennyi időre helyezte el az összeget)
• p% = 7% (éves kamat)
• q = 1+p/100 = 1+7/100 = 1,07 (kamattényező)
• a = 60 000 Ft (ennyit helyezett el minden év elején)
• S_n = S₁₀ = ? Ft (ezt keressük, az összegyűjtött összeg nagyságát)

Behelyettesítünk a gyűjtőjáradék képletébe, majd beütjük azt a számológépbe.:

Válasz: Sándornak 10 év múlva 887 ezer Ft-ja lesz a számláján.