Geometria – Nevezetes négyszögek

Feláll a szőr a hátadon, ha meg kell állapítanod egy síkidomról, hogy az rombusz, paralelogramma vagy éppen trapéz? Nem vagy egyedül, ám van segítség. A síkidomokkal a valóságban is nagyon gyakran találkozni, elég egy rajzlapra vagy egy sárkányrepülőre gondolni. Ebben a leckében a nevezetes négyszögekkel fogunk megismerkedni.

Minden nevezetes konvex négyszögre igaz, hogy a belső szögek összege 360°. Nézzük meg egyesével azokat, melyek a középszintű érettségire szükségesek. Először álljon itt egy kép a neveikkel és képeikkel, alatta pedig megtalálod az oldalaikra, szögeikre átlóikra vonatkozó jellemzőket:

Négyzet

• Oldalai: minden oldala egyenlő hosszú.
• Szögei: minden szöge megegyezik (90°).
• Átlói: egyenlő hosszúak és merőlegesen felezik egymást.

Téglalap

• Oldalai: szemközti oldalai egyenlő hosszúak.
• Szögei: minden szöge megegyezik (90°).
• Átlói: egyenlő hosszúak és felezik egymást.

Rombusz

• Oldalai: minden oldala egyenlő hosszú.
• Szögei: szemközti szögei egyenlő nagyságúak, egy oldalon fekvő szögei kiegészítő szögek (együtt 180° nagyságúak).
• Átlói: merőlegesen felezik egymást.

Paralelogramma

• Oldalai: két-két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő hosszú.
• Szögei: szemközti szögei egyenlő nagyságúak, egy oldalon fekvő szögei kiegészítő szögek (összegük 180°).
• Átlói: felezik egymást.

Trapéz

• Oldalai: van párhuzamos oldalpárja.
• Szögei: egy száron fekvő szögei kiegészítő szögek (összegük 180°).
• Átlói: nincs általános jellemző.

Deltoid

• Oldalai: két-két szomszédos oldala egyenlő hosszú.
• Szögei: van két azonos nagyságú szöge.
• Átlói: az egyik átló merőlegesen felezi a másikat.

Nevezetes négyszögek – két gyakorló feladat

1. feladat: Egy rombusz átlói 10 cm és 20 cm hosszúak. Határozd meg oldalainak hosszát!

Mivel a rombusz átlói merőlegesen felezik egymást, ezért észrevehetünk egy derékszögű háromszöget, melynek csúcsait az átlók metszéspontja és az egyik oldal végpontjai adják (ábrán pirossal satírozva).:

Vegyük észre, hogy a kapott derékszögű háromszög két oldalának (befogók) hossza ismert (5 cm és 10 cm), a harmadik oldal (átfogó) hossza nem ismert. A megoldást a Pitagorasz-tétellel kapjuk meg:

5² + 10² = x²

125 = x²

x = gyök alatt 125 = +- 11,18 cm

Válasz: Mivel egy síkidom (rombusz) oldalainak hosszát keressük, ezért csak a +11,18 cm jöhet szóba.

2. feladat: Egy paralelogramma oldalai 8 cm és 6 cm hosszúak, az általuk közrezárt szög pedig 80^o. Határozd meg a két oldal végpontjai között futó átló hosszát!

Első lépésként mindig érdemes ábrát készíteni. Nem kell, hogy tűpontos legyen, de törekedjünk nagyjából arányosra felvenni, tehát lehessen érzékelni az oldalhosszak arányát és a közrezárt szögük körülbelüli nagyságát is.:

Bár paralelogrammáról szól a feladat, a megoldást mégis egy háromszögeknél tanult trigonometrikus összefüggés adja meg a legkönnyebben. Az ABD háromszögben ismert két oldal hossza, az általuk közrezárt szög nagysága és ismeretlen a szöggel szemközti oldal hossza. Ezt pedig legegyszerűbben nem mással, mint egy jó kis koszinusztétellel fogjuk tudni megadni.

x² = 6² + 8² – 2*6*8*cos80^o

x² = 83,33

x = gyök alatt 83,33 = +-9,13 cm

Válasz: A paralelogramma keresett átlójának hossza 9,13 cm.