„Kizárt!”, „Tuti!” vagy „Szerinted van esélyem, hogy felvegyenek erre a pozícióra?”: a mindennapokban is gyakran használjuk a valószínűségszámítással (és eseményalgebrával) kapcsolatos fogalmakat: lehetetlen esemény, biztos esemény vagy éppen kicsi/nagy valószínűségű esemény.
A valószínűségszámítás esélylatolgatással foglalkozik, nem véletlen, hogy sok tankönyvi példa szerencsejátékkal kapcsolatos, gondolj a magyar kártyára vagy éppen a kockadobásra. Ez alá besorolható rengeteg terület: klasszikus valószínűség, geometriai valószínűség, eloszlások, mintavételezés és a statisztikának egy egyetemi szintű területe is ezen alapszik, ez pedig a következtető statisztika.
A geometriai valószínűség lényege
Ebben a leckében a valószínűségszámítás egyik alterületével, a geometriai valószínűséggel ismerkedünk meg. Ezen ág ugyanúgy a kedvező osztva összes képlettel számol, ám mindkettő valamilyen geometriai mérték: hossz, terület vagy éppen térfogat. Egy dobókocka eldobásánál fel tudjuk könnyen sorolni, hogy miket dobhatunk: 1-et, 2-t, 3-t és így tovább 6-ig.
Na de mi van akkor, ha eldobunk egy darts-nyilat a darts-tábla felé és annak a valószínűségét kellene vizsgálni, hogy betalálunk a közepébe és 50 pontot kapunk? Itt a kedvező esetek lehetséges kimeneteit nem tudjuk felsorolni, hiszen végtelen sok apró pont van abban a kicsi tábla közepén lévő körben. A titok nyitja, hogy a kedvező terület/térfogat/hossz mértékét adjuk meg, ugyanígy a teljes esetében is.
Amiket a klasszikus valószínűségszámításnál már megadtunk, az továbbra is fennáll: a valószínűség értéke 0 és 1 közötti lehet, 100-zal felszorozva akár százalékos formában is megadhatjuk a végeredményt: 0,5 vagy 0,5*100 = 50%. Ezt úgy értelmezhetjük, hogy az esetek felében a számunkra kedvező esemény következik be.
Geometriai valószínűség – egy gyakorló feladat
Leejtünk egy tollat egy 50 cm oldalhosszúságú négyzet felett. Mennyi a valószínűsége, hogy a toll hegye a négyzet közepétől maximum 10 cm-re esik le?
- Az összes eset, illetve esetünkben terület, az magának a négyzetnek a területe, ami:
- T = a2 = 502 = 2500 cm2 (Feltételezzük, hogy a négyzetbe fog esni.)
- A kedvező esemény/terület jelen esetben az, ha a négyzet közepétől maximum 10 cm-re esik le a toll. A síkban egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza: ez nem más, mint a kör. Tehát úgy is megfogalmazhatjuk, hogy mennyi annak az esélye, hogy a négyzet középen lévő 10 cm sugarú körbe kerül a toll hegye. A kedvező rész nagyságát a kör terület képletével kapjuk meg:
- T = r2∙π = 102∙π = 100∙π ≈ 314,16 cm2
- Tehát a keresett valószínűség: kedvező/teljes, azaz 314,16/2500 = 0,1257, ami kerekítve 12,57%.
Érdekesség, hogy geometriai valószínűségnél az nem számít, hogy ez a kedvező terület hol van, azaz ez a 10 cm sugarú „kedvező” kör akár lehetne a négyzet valamelyik szélénél is, ugyanennyi lenne a végeredmény.
