Valószínűségszámítás – Klasszikus valószínűség

Biztosan te is mondtad már, hogy: „Áh, ez lehetetlen!”, „Biztos vagy te ebben?”, vagy „Ez nem valószínű!”: a mindennapi életben is gyakran használjuk a matematikai logikát, gyakrabban, mint gondolnád. Gondolkoztál már azon, hogy mennyi az esélye annak, hogy megnyered az ötöslottót? Elárulom, elég kicsi: 1 a kb. 44 millióhoz, azaz kerekítve: 0,000000023. Ez a lottós példa már előjött a kombinatorika témakörnél is, nem véletlen: a kombinatorika és a valószínűségszámítás nagyon szoros kapcsolatban áll egymással.

A valószínűségszámítás lényege

Ebben a leckében a valószínűségszámítás alapjaival ismerkedünk meg. Magát a kifejezést úgy írhatnánk le egyszerűen, hogy egyfajta esélylatolgatással foglalkozik a matematika ezen területe. Ez alá besorolható rengeteg terület: klasszikus valószínűség, geometriai valószínűség, eloszlások, mintavételezés és a statisztikának egy egyetemi szintű területe is ezen alapszik, ez pedig a következtető statisztika.

Szóval esélylatolgatás, most a klasszikus valószínűségszámítás módszerét vizsgálva. Ennek képlete: kedvező esetek száma osztva az összes eset számával, ezeket pedig többnyire a kombinatorikánál tanult módszerekkel tehetjük meg. Úgy is mondhatjuk, hogy az esetek hány százalékban következik be a számunkra kedvező kimenetel.

A valószínűség értéke 0 és 1 közötti lehet, 100-zal felszorozva akár százalékos formában is megadhatjuk a végeredményt: 0,5 vagy 0,5*100 = 50%. Ezt úgy értelmezhetjük, hogy az esetek felében a számunkra kedvező esemény következik be.

Klasszikus valószínűségszámítás – 1. feladat:

Feldobunk egy szabályos, hatoldalú dobókockát. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott szám prím?

• Az összes eset 6, hiszen 1-től 6-ig bármilyen számot dobhatunk.
• A kedvező eset jelen esetben az, ha prímszámot dobunk. Prímszám az olyan pozitív természetes szám, melynek pontosan két osztója van: 1 és önmaga. Az összes eset elemei közül (1; 2; 3; 4; 5; 6) prímszámok: 2;3;5. Azaz 3 kedvező eset van.
• A keresett valószínűség: kedves/összes, azaz 3/6 = ½ = 0,5, ami 50%.

Klasszikus valószínűségszámítás – 2. feladat:

Feldobunk két szabályos, hatoldalú dobókockát. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege legalább 10?

• Az összes eset meghatározása már kicsit bonyolultabb, mint az előbb. Az első kockával 6-féle számot dobhatunk, míg a másodikkal szintén 6 félét, azaz összesen 6*6 = 36 féle számkombináció jöhet ki.
• A kedvező esetek jelen esetben azok, amikor a két kockával dobott számok összege legalább 10, azaz 10 vagy annál nagyobb. A legegyszerűbb az, ha felsoroljuk ezt a néhány esetet:
  • 10 a dobott számok összege: ez összesen 3-féle dobáskombinációként jöhet ki:
    • 1. kocka: 4 és 2. kocka: 6
    • 1. kocka: 5 és 2. kocka: 5
    • 1. kocka: 6 és 2. kocka: 4
  • 11 a dobott számok összege: ez összesen 2-féle dobáskombinációként jöhet ki:
    • 1. kocka: 5 és 2. kocka: 6
    • 1. kocka: 6 és 2. kocka: 5
  • 12 a dobott számok összege: ez összesen 1-féle dobáskombinációként jöhet ki:
    • 1. kocka: 6 és 2. kocka: 6
  • Azaz összegezve 3+2+1 = 6-féle kedvező esetünk van.
• Így a keresett valószínűség: 6/36 = 1/6 = 0,1667, azaz 16,67%.