Időnként felmerülnek olyan kérdések, mint: „Mennyi cserép kell a tetőre?” vagy „Mekkora a telek területe?” Ezekre (és még rengeteg más kérdésre) a geometria és alterületei adják meg a választ: ó síkgeometria, térgeometria, koordinátageometria, de ilyen a vektor is. Ebben a leckében a szögek osztályozásával és a nevezetes szögpárokkal ismerkedtünk meg, a másodikban pedig elkezdjük kivesézni a háromszögeket.
Bármely háromszögnek három oldala és három szöge van és megannyi szempont alapján csoportosíthatjuk őket. Azért fontos ezek ismerete, mert vannak olyan összefüggések és képletek, melyek csak derékszögű háromszögeknél alkalmazhatóak (pl. a Pitagorasz-tétel), de olyanok is, amelyek bármely háromszögnél bevethetőek (pl. a szinusztétel).
A háromszögek szögeire vonatkozó összefüggések
A következő összefüggések minden egyes háromszögre igazak:
- Belső szögek összege: mindig 180°.
- Külső szögek összege: mindig 360°.
- Egy csúcsnál lévő belső és külső szög összege: mivel mellékszöget alkotnak, ezért összegük 180°.
Érdekesség, hogy a háromszög bármely külső szögének nagysága megadható úgy, ha a két nem mellette fekvő belső szög nagyságát összeadjuk. Tehát egy háromszögben bármely két belső szög nagysága alapján könnyen meghatározható az egyetlen hiányzó belső szöge és az összes külső szöge is.
A háromszögek osztályozása szögnagyság szerint
A belső szögek nagysága alapján háromféle háromszöget különböztetünk meg:
- Hegyesszögű háromszög: mindhárom belső szöge hegyesszög (kisebb, mint 90°).
- Derékszögű háromszög: egyik belső szöge derékszög (pontosan 90°).
- Tompaszögű háromszög: egyik belső szöge tompaszög (90°-tól nagyobb, de 180°-tól kisebb).
A háromszögek osztályozása oldalnagyság szerint
Az oldalhosszak alapján háromféle háromszöget különböztetünk meg:
- Általános háromszög: minden oldala különböző hosszúságú.
- Egyenlő szárú háromszög: van két egyenlő hosszúságú oldala (és két egyenlő nagyságú belső szöge is).
- Egyenlő oldalú (szabályos) háromszög: mindhárom oldala egyenlő hosszúságú (és mindegyik belső szöge azonos nagyságú, pontosan 60°-os).
A háromszög-egyenlőtlenség kimondja, hogy egy háromszögben bármely két oldal hosszának összege mindig nagyobb, mint a harmadik oldal hossza.
Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között
Egy háromszögben az egyenlő hosszúságú oldalakkal szemben mindig egyenlő nagyságú szögek vannak. Ugyanúgy igaz ennek megfordítása is, ami szerint, ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor az ezekkel szemben lévő oldalak hossza is egyenlő.
Bármely háromszögben a hosszabbik oldallal szemben mindig nagyobb belső szög van, mint egy rövidebb oldallal szemben. Ennek is igaz a megfordítottja is. Tehát olyan háromszög nem létezik, melynek egyik oldala 10 cm hosszú, vele szemben 70°-os szög van, míg másik oldala 12 cm-es, szemközti szöge pedig 50°.
Háromszög szögeinek nagysága – egy gyakorló feladat
Egy háromszög két belső szöge 30o és 120o. Határozd meg a hiányzó belső és külső szögek nagyságát! Milyen nevezetes háromszög ez?
- Belső szögek nagysága: A háromszög harmadik belső szögének nagysága 30o, hiszen a belső szögek összege 180o, amiből levonjuk a meglévő két belső szöget.
- Külső szögek nagysága: Mivel az egy adott csúcsnál fekvő külső és belső szögek mellékszöget alkotnak, ezért a 30o-os belső szögekhez 150o-os külső szögek tartoznak, míg a 120o-os belsőhöz 60o-os külső.
- A háromszög típusa: A háromszög két szöge megegyezik (és ilyenkor a velük szemközti oldalak hossza is), ezért a példában említett háromszög egyenlő szárú.
