Egyenletrendszerek megoldása

Egyetemen is előfordulhat olyan eset, hogy egy 2 tagból álló egyenletrendszert kell megoldanod, például többváltozós függvényelemzésnél vagy éppen lineáris programozásnál. Ebben a bejegyzésben az egyenletrendszerek megoldásánák két módszerét fogom bemutatni: a behelyettesítős és az egyenlő együtthatók módszerét. Csapjunk bele!

Amikor azt mondjuk, hogy egy egyenletrendszer megoldását keressük akkor valójában a két egyenlet metszéspontjára vagyunk kíváncsiak, azaz, hogy ők hol találkoznak.

Amiket tehetünk egy egyenletrendszer tagjaival:

  • szorozhatjuk vagy
  • oszthatjuk a tagokat egy 0-tól eltérő számmal.

Amit a két egyenlettel tehetünk, hogy megkapjuk a metszéspontjukat, azaz a megoldást:

  • kivonathatjuk őket egymásból (bármelyikből bármelyiket) vagy
  • összeadhatjuk őket.

1.: A behelyettesítős módszer

A módszer lényege: az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, azaz addig rendezzük, amíg az egyik oldalon csak egy “x”-et vagy egy “y”-t látunk.

Mikor érdemes ezt a módszert használni? Akkor, ha az “x” vagy “y” előtt nincs semmilyen szám (együttható), ekkor egy nagyon egyszerű átrendezéssel el is kezdhetjük a folyamatot.

2.: Az egyenlő együtthatók módszere

A módszer lényege: mindkét egyenletet úgy alakítjuk át (szorozzuk vagy osztjuk számokkal), hogy vagy az “x” vagy az “y” előtti együttható (szám, ami előtte áll) megegyezzen.

Mikor érdemes ezt a módszert használni? Akkor, ha az “x” vagy “y” előtt van valamilyen szám (együttható).

Megfelelő módszer beazonosítása

Feladat 1 – Oldd meg az alábbi egyenletrendszert!

  • I. 4x + y = 8
  • II. 3y – 7x = 5

Látható, hogy az 1. feladat I. egyenletében az y önmagában áll, nincs együtthatója (pontosabban az 1 az együtthatója), így ott könnyen kifejezhető az y, jól használható a behelyettesítős módszer, így:

I. 4x + y = 8 művelet: -4x

I. y = 8 – 4x

Ezt fogjuk és behelyettesítjük a II.-es egyenletbe az “y” helyére:

II. 3y – 7x = 5

II. 3*(8 – 4x) – 7x = 5 művelet: zárójel felbontása

II. 24 – 12x – 7x = 5 művelet: “x”-es tagok összevonása

II. 24 – 19x = 5 művelet: – 24

II. -19x = -19 művelet: osztás -19-cel

II. x = 1

Megkaptuk tehát, hogy a két egyenlet metszéspontjának 1. koordinájáta az 1.

A második meghatározása ettől már könnyebb lesz: fogjuk az x=1-et és az I.-es vagy a II.-es egyenletbe visszahelyettesítjük. Itt és most amiatt érdemes inkább az I.-esbe, mert ott az y előtt nincs együttható, így nem kell osztanunk, de egyébként ugyanazt a végeredményt megkapjuk bármelyikbe is helyettesítjük vissza.

I. 4x + y = 8

I. 4*1 + y = 8 művelet: -4

I. y = 4

Megkaptuk a két egyenlet metszéspontjának 2. koordinátáját is, ami a 4.

Tehát az egyenletrendszer megoldása az (1;4) pont, azaz itt metszik egymást (ha ábrázolnánk őket).

Feladat 2 – Hol metszi egymást az alábbi két függvény?

  • I. 2x + 6y = 8
  • II. 9x + 5y = 3

Látható, hogy a 2. feladat egyenleteiben nincsenek együttható nélküli “x”-ek és “y”-ok, valamint egy könnyű osztással sem lehetne őket olyanná varázsolni, így itt marad az egyenlő együtthatók módszere.

Kíváncsi vagy, hogy a 2. feladatot hogyan kellene megoldani?

A lenti YouTube-videóból kiderül:

Megosztás:

Hasonló tartalmak

Érdekelne
matek érettségi felkészítés?

egy alma a villanyszerelőt távol tartja