Egyetemen is előfordulhat olyan eset, hogy egy 2 tagból álló egyenletrendszert kell megoldanod, például többváltozós függvényelemzésnél vagy éppen lineáris programozásnál. Ebben a bejegyzésben az egyenletrendszerek megoldásánák két módszerét fogom bemutatni: a behelyettesítős és az egyenlő együtthatók módszerét. Csapjunk bele!
Amikor azt mondjuk, hogy egy egyenletrendszer megoldását keressük akkor valójában a két egyenlet metszéspontjára vagyunk kíváncsiak, azaz, hogy ők hol találkoznak.
Amiket tehetünk egy egyenletrendszer tagjaival:
- szorozhatjuk vagy
- oszthatjuk a tagokat egy 0-tól eltérő számmal.
Amit a két egyenlettel tehetünk, hogy megkapjuk a metszéspontjukat, azaz a megoldást:
- kivonathatjuk őket egymásból (bármelyikből bármelyiket) vagy
- összeadhatjuk őket.
1.: A behelyettesítős módszer
A módszer lényege: az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, azaz addig rendezzük, amíg az egyik oldalon csak egy “x”-et vagy egy “y”-t látunk.
Mikor érdemes ezt a módszert használni? Akkor, ha az “x” vagy “y” előtt nincs semmilyen szám (együttható), ekkor egy nagyon egyszerű átrendezéssel el is kezdhetjük a folyamatot.
2.: Az egyenlő együtthatók módszere
A módszer lényege: mindkét egyenletet úgy alakítjuk át (szorozzuk vagy osztjuk számokkal), hogy vagy az “x” vagy az “y” előtti együttható (szám, ami előtte áll) megegyezzen.
Mikor érdemes ezt a módszert használni? Akkor, ha az “x” vagy “y” előtt van valamilyen szám (együttható).
Megfelelő módszer beazonosítása
Feladat 1 – Oldd meg az alábbi egyenletrendszert!
- I. 4x + y = 8
- II. 3y – 7x = 5
Látható, hogy az 1. feladat I. egyenletében az y önmagában áll, nincs együtthatója (pontosabban az 1 az együtthatója), így ott könnyen kifejezhető az y, jól használható a behelyettesítős módszer, így:
I. 4x + y = 8 művelet: -4x
I. y = 8 – 4x
Ezt fogjuk és behelyettesítjük a II.-es egyenletbe az “y” helyére:
II. 3y – 7x = 5
II. 3*(8 – 4x) – 7x = 5 művelet: zárójel felbontása
II. 24 – 12x – 7x = 5 művelet: “x”-es tagok összevonása
II. 24 – 19x = 5 művelet: – 24
II. -19x = -19 művelet: osztás -19-cel
II. x = 1
Megkaptuk tehát, hogy a két egyenlet metszéspontjának 1. koordinájáta az 1.
A második meghatározása ettől már könnyebb lesz: fogjuk az x=1-et és az I.-es vagy a II.-es egyenletbe visszahelyettesítjük. Itt és most amiatt érdemes inkább az I.-esbe, mert ott az y előtt nincs együttható, így nem kell osztanunk, de egyébként ugyanazt a végeredményt megkapjuk bármelyikbe is helyettesítjük vissza.
I. 4x + y = 8
I. 4*1 + y = 8 művelet: -4
I. y = 4
Megkaptuk a két egyenlet metszéspontjának 2. koordinátáját is, ami a 4.
Tehát az egyenletrendszer megoldása az (1;4) pont, azaz itt metszik egymást (ha ábrázolnánk őket).
Feladat 2 – Hol metszi egymást az alábbi két függvény?
- I. 2x + 6y = 8
- II. 9x + 5y = 3
Látható, hogy a 2. feladat egyenleteiben nincsenek együttható nélküli “x”-ek és “y”-ok, valamint egy könnyű osztással sem lehetne őket olyanná varázsolni, így itt marad az egyenlő együtthatók módszere.
Kíváncsi vagy, hogy a 2. feladatot hogyan kellene megoldani?
A lenti YouTube-videóból kiderül:
