A trigonometria a matematika azon ága, amely a háromszögek oldalai és szögei közötti kapcsolatokat vizsgálja, főként (de nem kizárólag!) a derékszögű háromszögekre koncentrálva. A különböző szögfüggvények segítségével meg lehet határozni ismeretlen oldalakat vagy szögeket. A trigonometria hasznos területek feltérképezésében és az építészetben is.
Szögfüggvények a derékszögű háromszögben
A háromszögekről szóló egyik korábbi leckében már megismerkedtünk a derékszögű háromszögekkel: ezeknek mindig van egy 90°-os belső szöge, az ezzel szemközti oldal az átfogó, míg a másik két oldala pedig a befogó.
4 olyan szögfüggvény van (ezek közül a gyakorlatban hármat használunk), melyek kifejezetten a derékszögű háromszögek szögei és oldalai közötti összefüggést írnak le. Az α (ejtsd: alfa) hegyesszögre az alábbi szögfüggvények adhatóak meg:
- szinusz (sin): szöggel szemközti befogó / átfogó
- koszinusz (cos): szög melletti befogó / átfogó
- tangens (tg): szöggel szemközti befogó / szög melletti befogó
- kotangens (ctg): szög melletti befogó / szöggel szemközti befogó
Általános háromszögekre vonatkozó trigonometrikus tételek
Az alábbi két tétel minden háromszög esetén alkalmazható, nem csak derékszögűekre.
Szinusztétel
Bármely háromszögben az oldalhosszak aránya megegyezik a szemközti szögeik szinuszainak arányával.
Koszinusztétel
Bármely háromszögben az egyik oldal hosszának négyzete megegyezik a másik két oldal hosszának négyzetösszegével, ebből levonva ezen két oldal hosszának, valamint a közbezárt szögük koszinuszának kétszereséből alkotott szorzatot.
Nézzünk két rövid feladatot.
1. feladat: Egy derékszögű háromszög egyik szöge 60°, a mellette fekvő befogó 10 cm hosszú. Határozd meg az átfogó hosszát!
Mivel az átfogó hosszát keressük (és derékszögű háromszögről van szó), ezért a szinusz vagy koszinusz összefüggést kell használnunk. Esetünkben a koszinuszt, mert a szög melletti oldal (befogó) hossza ismert.:
Rendezzük az egyenletet: beszorzunk az átfogóval (x), majd osztunk koszinusz 60-al:
2. feladat: Egy háromszög egyik szöge 20°, az ezzel szemközti oldala pedig 5 cm hosszú. Határozd meg a háromszög 10 cm hosszú oldalával szemközti szögének nagyságát!
Ebben az esetben a szinusztétellel jutunk megoldásra: ismert 2 oldal hossza, tudjuk az egyikkel szemközti szög nagyságát (alfa) és a másikat keressük (béta):
Rendezzük az egyenletet: beszorzunk szinusz bétával, majd osztunk 5/sin20-al:
A számológépen meg kell keresni a sin-1 feliratot (általában a szinusz második sorában van), majd beütni az 0,68-at:
