A való életben gyakrabban találkozni számtani és mértani sorozatokkal, mint ahogy gondolnánk. Elég csak azokra az esetekre gondolni, amikor pénzt helyezel el a bankba vagy éppen hitelt veszel fel. Ahhoz, hogy megértsük ezeket logikáját, elengedhetetlen a sorozatok ismerete.

Egy korábbi leckében már megismerkedtünk a számtani és mértani sorozatokkal (ezt IDE kattintva éred el), a mai leckében ezek egyik konkrét alkalmazásával foglalkozunk, méghozzá a kamatszámítással.

Kamatszámítás

Mi is az a kamat? Ha a bankra bízod a pénzed egy időre, azaz ők szabadon “garázdálkodhatnak” vele, amíg náluk van, úgy fair, ha adnak cserébe néminemű ellenszolgáltatást, amit a közgazdászok kamatnak hívnak. Mondhatjuk úgy is, hogy ez az ára annak, hogy te lemondasz a pénzed szabad felhasználásáról egy időre.

Egyszerű kamatozás

A számtani sorozattal tehető egyenlővé az egyszerű kamatozás (egyszerű kamatozás = csak a tőke kamatozik, azaz a kamat nem adódik hozzá a tőkéhez).

Nézzünk egy konkrét esetet: van 100 000 Ft-od, amit néhány évre beteszel a bankba. A bank azt ígéri neked, hogy a betett tőkédre (ami jelen esetben a 100 000 Ft) minden évben 10% egyszerű kamatot ad, amíg náluk tartod a pénzedet. A 100 000 Ft 10%-át úgy tudod kiszámolni, ha az alaptőkét szorzod a kamat századrészével, azaz 100 000 Ft * 10%/100=10 000 Ft. Tehát a bank évi 10 000 Ft-ot ad neked, amíg náluk tartod a pénzed. Tegyük fel, hogy 6 évig bent hagyod a bankban a 100 000 forintodat, ekkor a bank már 6 évnyi kamattal lóg neked, azaz 6 * 10 000 Ft-al, ami barátok közt is 60 000 Ft – a tőkével együtt 160 000 Ft.

Az egyszerű kamatozás lényege röviden: elhelyezünk egy összeget (T0) a bankba egy bizonyos időtartamra (n), melyre a bank évente p% egyszerű kamatot fizet. Ezalatt a pénzünkhöz nem nyúlunk, tehát nem veszünk ki belőle és nem is adunk hozzá. Ha eltelt az időtartam (n), akkor a kamattal felnövelt összeget (Tn) vehetjük ki a bankból.

Az egyszerű kamatozás számítása során használt képlet:

Kamatos kamatozás

A mértani sorozattal feleltethető meg a kamatos kamatozás (kamatos kamatozás = az alaptőkéhez minden évben “hozzácsapódik” a kamat, így a kamattal növelt tőke kamatozik tovább). Ugyanaz a szituáció, akárcsak az előbb: van ismét 100 000 Ft-od, amire most a bank úgy ígér évi 10% kamatot, hogy a kamattal növelt tőkédet kamatoztatja tovább (kamatos kamatozás).

Itt már nem olyan egyszerű az éves kamat értékének kiszámítása, hiszen minden évben más és más.

• Az 1. évben a betett tőkéd, a 100 000 Ft-od 10%-a, azaz 10 000 Ft a kamat. Ez a kamat hozzáadódik a tőkédhez – már 110 000 Ft-od van, ami kamatozik tovább.
• A 2. évben a kamattal növelt tőkéd, azaz a 110 000 Ft-od 10%-a lesz a kamat (110 000 Ft * 10%/100 = 11 000 Ft). Összegezve: 110 000 Ft + 11 000 Ft-od (összesen 121 000 Ft) lesz a 2. év végére, ami máris 1000 Ft-al több, mintha az egyszerű kamatozást kínálta volna fel a bank.
• És így tovább…

A kamatos kamatozás lényege röviden: elhelyezünk egy összeget (T₀) a bankba egy bizonyos időtartamra (n), melyre a bank évente p% kamatot fizet. Ezalatt a pénzünkhöz nem nyúlunk, tehát nem veszünk ki belőle és nem is adunk hozzá. Ha eltelt az időtartam (n), akkor a kamattal felnövelt összeget (T_n) vehetjük ki a bankból.

A kamatos kamatszámítás képletében a p%-os éves kamat helyett jellemzően a kamattényezővel (q) szoktak számolni, mely így adható meg:

A kamatos kamatszámítás képlete:

Kamatszámítással kapcsolatos gyakorló feladat

Sándor 10 évvel ezelőtt elhelyezett valamekkora összeget, amire a bank évente 7% kamatot fizetett – most 600 ezer forint van a számláján. Mekkora összeget helyezett el 10 évvel ezelőtt? Számítsd ki egyszerű kamatozást és kamatos kamatozást alkalmazva is! A válaszodat egész ezer forintra kerekítve add meg.

Először nézzük egyszerű kamatozást feltételezve:

• n = 10 év (ennyi időre helyezte el az összeget)
• p% = 7% (éves kamat)
• q = 1+p/100 = 1+7/100 = 1,07 (kamattényező)
• T_n = T₁₀ = 600 000 Ft (ennyi pénze gyűlt össze)
• T₀ = ? Ft (ezt keressük, a kezdetben elhelyezett tőke nagyságát)

Az egyszerű kamat képletébe történő behelyettesítés után megkapott egyenletet rendezzük T₀-ra:

Másodsorban számoljuk ki kamatos kamatozással – ugyanazokat az adatok felhasználva.:

Válasz: Egyszerű kamatozással 353 ezer Ft-ot, míg kamatos kamatozás esetén 305 ezer Ft-ot kellett Sándornak elhelyeznie a bankba 10 évvel ezelőtt.