Elgondolkoztál valaha azon, hogy hányféle különböző számkombinációt kellene megtenned az ötöslottón, hogy biztosan legyen telitalálatod? Segítek: 43 949 268-at. Igen, majdnem 44 milliót. Gondoltad volna? Maradj velem és ismerkedj meg a kombinálás tudományának alapjaival, ebben a cikkben a kombinációval.
A kombinatorika esetszámlálással foglalkozik, például: hányféleképpen ülhet le egymás mellé 5 ember vagy hányféle módon választhatunk ki 3 ízt a 20 féle különböző ízesítésű fagylalt közül. Bár az egyes feladatokban a legtöbb esetben nem tisztán, önmagukban jelennek meg a most következő alapesetek, de ismeretük elengedhetetlen a gondolkodási módszer elsajátításában.
3 különböző esetet fogunk átnézni 3 leckén keresztül:
- Permutáció: az összes elemünket sorbarendezzük. (lecke ITT)
- Variáció: az összes elemünk közül néhányat kiválasztunk és őket sorba rendezzük. (lecke ITT)
- Kombináció: az összes elemünk közül néhányat kiválasztunk, de nem rendezzük sorba őket.
Kombináció
Ilyenkor néhány elemet kiválasztunk a nagy halmazból, de a sorba rendezéssel nem foglalkozunk.
Ismétlés nélküli kombináció:
- Ez történik: “n” darab különböző elemünk van, ezek közül választunk ki néhányat (“k” darabot) ismétlés nélkül (visszatevés nélkül), de a sorrend ezúttal nem számít.
- Képlet: a második, zárójeles tagot így ejtsd: n „alatt” a k.
- Feladat: Egy cukrászdában 17 féle különböző süteményt látunk és ezek közül szeretnénk hazavinni a családnak 4 különbözőt. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha véletlenszerűen válogatunk?
- A feladat megoldása: Összesen 17 féle sütemény van (n = 17 db), 4 félét választunk ki (k = 4 db), a sorrendre nem vagyunk tekintettel, mert arról nem szól a feladat, hogy oda is adnánk a családtagoknak, itt most csak kiválasztjuk őket. Ha az első képletet követjük, akkor először vesszük az összes elem faktoriálisát: 17!, majd leosztjuk a ki nem választottak számának faktoriálisával (17-4 = 13), azaz 13!-al. Erre azért van szükség, mert az összes süti sorrendjéből levesszük azokat, amiket nem veszünk meg. Ám itt még mindig meghagynánk a sorrendet, ez eddig variáció lenne. Ezt a 13!-t beszorozzuk még 4!-al, azaz az összes lehetőség sorrendjéből levesszük a ki nem választottakat és a kiválasztottak sorrendjét is. Vagy ha nem akarunk ennyit vacakolni, akkor a számológépünkön megkeressük az nCr gombot és beütjük, hogy: 17 nCr 4.
Ismétléses kombináció:
- Ez történik: “n” darab különböző elemünk van, ezek közül választunk ki néhányat (“k” darabot) ismétléssel (visszatevéssel), de a sorrend ezúttal nem számít.
- Képlet:
- Feladat: Egy cukrászdában 3 gombóc fagyit veszünk, nem feltétlen különböző ízeket. Hányféleképpen válogathatjuk össze őket egy kehelybe a 13 különböző ízből?
- A feladat megoldása: Az előző, sütis példával ellentétben itt már lehet ismétlődés, azaz akár 3 csokoládés fagylaltot is választhatunk. Fogjuk magunkat és behelyettesítünk a képletbe. 13 féle íz közül válogatunk (n = 13 db), összesen hármat fogunk (k = 3 db).:
