A háromszögek gyakrabban fordulnak elő a matematikában, mint elsőre gondolnánk: a legtöbb sokszögnél egy-egy keresett oldal hossza vagy szög nagysága visszavezethető valamilyen háromszöggel kapcsolatos összefüggésre vagy tételre. A háromszögek között van két kiemelt, melyekkel ebben a leckében foglalkozunk: a derékszögű és az egyenlő oldalú (szabályos).
A derékszögű háromszög
A derékszögű háromszög a többi típusnál gyakrabban fordul elő. Az ilyen alakzat egyik szöge éppen 90°-os: azt a két oldalt, mely közrefogja ezt a szöget, befogóknak, míg az ezzel a szöggel szemközti oldalt átfogónak hívják.
Pitagorasz-tétel
Derékszögű háromszögeknél alkalmazható a Pitagorasz-tétel, mely azt mondja ki, hogy átfogó hosszának négyzete megegyezik a két befogó hosszának négyzetösszegével. Ha „a”-val és „b”-vel jelöljük a két befogót és „c”-vel az átfogót, akkor az alábbi összefüggést írhatjuk fel:
a2 + b2 = c2
A tétel fordítottja is igaz, azaz, ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege megegyezik a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.
Az egyenlő oldalú (szabályos) háromszög
Az egyenlő oldalú, vagy más néven szabályos háromszög minden oldala egyenlő hosszú és minden belső szöge egyenlő nagysága. Mivel a belső szögek összege 180°, így egy-egy belső szöge 60°-os, míg egy-egy külső szöge pedig 120°-os.
Az ”a” oldalhosszúságú szabályos háromszög magassága (m) az alábbi képlettel számítható ki:
Az ”a” oldalhosszúságú szabályos háromszög területe pedig így:
Nézzünk két feladatot:
1. feladat – Egy háromszög három oldalának hossza 5 cm, 11 cm és 14 cm. Lehet-e ez a háromszög derékszögű?
- Itt is alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt, csak az előzővel ellentétben itt az összefüggés helyességét kell ellenőrizni, azaz, hogy igaz-e, hogy:
- a2 + b2 = c2 → 52+112 = 142
- Az egyenlőség bal oldala: 146
- Az egyenlőség jobb oldala: 196
- Mivel nem egyezik az egyenlet két oldala, ezért nem derékszögű a háromszög.
2. feladat – Egy szabályos háromszög kerülete 24 cm. Add meg a háromszög magasságát!
- Mivel szabályos háromszögről szól a feladat, ezért a kerület harmada adja meg egy oldal hosszát, ami: 24/3 = 8 cm.
- Ezt követően a fenti képleteket alkalmazva már „gyerekjáték” megadni a keresett magasságot:
