Teljes négyzetté alakítás

A teljes négyzetté alakítás módszere a másodfokú függvényeknél hasznos. Ennek (az egyébként nem túl bonyolult átalakításnak) hála könnyen leolvashatóvá válik a függvényen végzett “tologatás”, avagy kicsit csúnyábban: a transzformáció. Sőt, ezáltal a függvény szélsőértékének helyét és értékét is meg tudjuk mondani.

Egyszerű, kiemelést nem igénylő függvény teljes négyzetté alakítása

Bonyolultabb, kiemelést igénylő függvény teljes négyzetté alakítása

A módszert a fenti két oktatóvideóban mutatom be (egy egyszerűbb és egy átalakítást igénylő függvénnyel), de röviden leírom a lényegét:

1. A másodfokú függvényt olyan alakra kell hozni, hogy az x² önmagában álljon, ne legyen szorozva számmal és ne legyen negatív előjele sem. Ha ilyen esettel találkozol, akkor kiemelés szükséges (a 2. videóban egy ilyen esetet mutatok be).
2. Ezt követően alkalmazzuk az egyik nevezetes azonosságot:
   1. (a+b)²=a²+2ab+b² vagy
   2. (a-b)²=a²-2ab+b², attól függően, hogy az “x-es tag” milyen előjellel szerepel.
3. Az x²-es és az x-es tag (a kibontott nevezetes azonosságban a 2ab) adott az eredeti (vagy kiemelésen átesett) függvényből, így csak a “b” tagot keressük. Mivel a középső tag (2ab) adott, ezért elvégezzük a számolást és kifejezzük a “b” tagot.
4. Megadjuk az (a+b)² vagy (a-b)² alakban a függvényünket. Mivel elvégezve a nevezetes azonosság kibontását gyakran nem kapjuk meg az eredeti függvényünk konstans tagját (az egyedül álló számot), ezért a (a+b)² vagy (a-b)² alakhoz hozzáadunk vagy elveszünk belőle annyit, hogy kijöjjön az eredeti függvényünk konstans tagja.
5. Ez után már megadható a teljes négyzetté alakított függvény. Ha kiemeltünk valamit, akkor érdemes azzal megszorozni a tagokat.
6. Az így kapott függvényünk zárójeles konstans tagja az x-tengely mentén vett, ellentétes irányú eltolást fejezi ki (pl. -2 esetén az x-tengely mentén 2-vel kell JOBBRA tolni a függvényt), míg a zárójelen kívül konstans tag az y-tengely mentén vett, azonos irányú eltolást (pl. -3 esetén az y-tengely mentén 3-al kell LEFELÉ tolni a függvényt) – egyúttal pedig ezen két eltolás eredményei kiadják a szélsőérték két koordinátáját (pl. az előbbi két értéke (-2 és -3) esetén a szélsőérték a (2;-3) pontban található)