„Szerinted van rá esély, hogy rájön a műszakvezető, hogy a selejtes villanykörtéket mindig kivesszük a mintából, mielőtt beküldjük ellenőrzésre őket a nap végén?” Elárulom: van, a munka világában minden problémát vet fel: ha sok a selejt vagy ha túl gyakran nincs selejt. Aki dolgozik, az hibázik és nagyon kicsi a valószínűsége annak, hogy folyamatosan tökéletes termékek kerüljenek le a gyártósorról.
A valószínűségszámítás esélylatolgatással foglalkozik és megannyi izgalmas, a való életben is használt (igen!) területe van: klasszikus valószínűség, geometriai valószínűség, eloszlások, mintavételezés és a statisztikának egy egyetemi szintű területe is ezen alapszik, ez pedig a következtető statisztika. Az igazán hasznos területe, amivel csak a felsőoktatásban találkozhatsz, az a mintavételezéssel kapcsolatos részek: intervallumbecslés és hipotézisvizsgálat, ám a középiskolában egy ettől jóval rövidebb és barátságosabb résszel ismerkedtek meg.
Ebben a leckében a valószínűségszámítás egyik alterületével, a mintavételezéssel ismerkedünk meg.
A mintavétel lényege
Képzeld el az alábbi szituációt:
Egy hatalmas gyártósort felügyelsz, ahol szalagonként és óránként 100 db termék készül el, összesen 5 szalag van és a termelés napi 12 órában megy: szalagonként naponta 1200 db termék, összesen 6000 db termék. Ember legyen a talpán, aki képes lenne ezeket egyesével minden egyes nap leellenőrizni, hogy mennyi selejtes van közöttük.
A matematika (és a statisztika) kínál erre megoldást: vegyünk ki néhány terméket és vizsgáljuk meg csak őket. Ezt a műveletet hívjuk mintavételezésnek.
A mintavétel kétféle módszere
Kétféle mintavételezési módszert kell ismernünk: a visszatevés nélkülit és a visszatevésest.:
- A visszatevés nélküli mintavétel: lényege, hogy a nagy halmazból (sokaság) kiveszünk egy elemet, de a kivétel után nem tesszük vissza a nagy halmazba, azaz még egyszer már nem tudjuk őt kiválasztani (nem lehet ismétlődés).
- A visszatevéses mintavétel: lényege, hogy a nagy halmazból (sokaság) kiveszünk egy elemet és a kivétel után visszatesszük a nagy halmazba, azaz akár többször is ki tudjuk őt választani (lehet ismétlődés).
A feladatban a nagy halmaz (sokaság) elemszámát nagy „N”-el szokás jelölni, míg a kivett elemek számát (minta nagysága) kicsi „n”-el. A nagy halmazban a kedvező tulajdonságú elemek számát nagy „K”-el jelölik, ezek arányát pedig kicsi „p”-vel. míg a számunkra kedvezőtlenek számát „N – K”, arányát „1-p”-vel. A mintában a kedvező tulajdonságú elemek száma kicsi „k”, a kedvezőtleneké pedig „n – k”.
Mindkét mintavételi módszernél a kicsi “k” értéke nem negatív egész szám lehet és maximum kicsi “n”-nel lehet egyenlő, hiszen ha például 10 elemű mintát veszünk, akkor maximum 10 selejtes lehet közöttük. Így: k = 0; 1; 2; (…) ; n.
A visszatevés nélküli mintavétel képlete
A visszatevéses mintavétel képlete
Visszatevés nélküli és visszatevéses mintavétel – egy gyakorló feladat
Egy gyártósoron óránként 100 bögre készül, melyek között 5 db selejtes van. Kiválasztottunk 8 darabot közülük. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem lesz közöttük selejtes bögre? A feladatot oldjuk meg visszatevés nélküli és visszatevéses módszerrel is!
Gyűjtsünk adatokat:
- N = 100 Összesen 100 bögre van (nagy halmaz/sokaság)
- K = 5 Összesen 5 bögre selejtes (kedvező elemek száma a sokaságban)
- n = 8 Összesen 8 bögrét választunk ki és vizsgálunk meg
- k = 0 Azt vizsgáljuk, hogy nem lesz selejtes bögre, azaz 0 db lesz
Visszatevés nélküli módszerrel:
Visszatevéses módszerrel:
Ehhez szükségünk van a kicsi „p”-re, azaz hogy az összes bögre hány százaléka selejtes, ezt így kapjuk meg: p = K/N = 5/100 = 0,05
Ha összehasonlítjuk a két módszerrel kapott végeredményt (65,32% és 66,34%) akkor azt látjuk, hogy nagyon hasonlóak. Minél nagyobb a nagy halmaz (sokaság) és minél kisebb mintát veszünk, annál közelebb lesznek a megoldások.
