Az egyetemi matek egyik fontos tananyaga a függvényelemzés, amihez sok új anyagot és módszert fogsz majd megtanulni. Ha középszintű érettségit tettél, akkor a határérték-számításról és a deriválásról nem tanultál – na de majd hamarosan eljön ez is. Ebben a bejegyzésben a fontosabb alapfogalmakat fogom bemutatni, a módszerek különösebb említése nélkül.
Értelmezési tartomány
Jelölése általában Df-el történik és azt adja meg, hogy az x-tengelyen mik azok a tartományok, ahol értelmezve van a függvény. A leggyakoribb értelmezési tartomány a valós számok halmaza (röviden: R), de van néhány, gyakran előkerülő, speciális eset, amelyeket érdemes megjegyezni:
- törtfüggvény: a tört nevezője (alsó tag) nem lehet egyenlő 0-val (pl. ha egy törtfüggvény nevezője x-5, akkor x – 5 ≠ 0, átrendezve azt kapjuk, hogy x ≠ 5).
- gyökfüggvény: ha páros gyökkitevős a függvény (2., 4., … gyök alatt van), akkor a gyök alatti kifejezés csak nem-negatív lehet, azaz nagyobb vagy egyenlő, mint 0 (pl. ha a második gyök alatt áll az x – 5 kifejezés, akkor x – 5 >= 0, átrendezve azt kapjuk, hogy x >= 5). Ha páratlan gyökkitevős a függvény (3., 5., … gyök alatt van), akkor a gyök alatti kifejezésre nem kell külön kikötést tenni.
- logaritmusfüggvény: a logaritmus után álló számnak pozitívnak kell lennie (pl. ha 10-es alapú log (x-5) a függvény, akkor x – 5 > 0, átrendezve azt kapjuk, hogy x > 5).
Zérushely
Megadja, hogy az adott függvény hol metszi az x-tengelyt (ha van ilyen hely). Számolása úgy történik, hogy a függvényünket egyenlővé tesszük 0-val, majd megoldjuk (azaz x-re rendezzük). Ez hol egyszerűbb, hol bonyolultabb – másodfokú függvényeknél például általában a másodfokú megoldóképlet adhat választ a kérdésre.
Monotonitás és szélsőérték
Egy függvény monotonitása azt adja meg röviden, hogy a függvény bizonyos szakaszokon (szigorúan balról jobbra nézve a függvény képét) növekvő vagy csökkenő. A függvény biztosan monotonitást vált ott, ahol szélsőértéket találunk, azonban monotonitást válthat, ahol szakadási helyet találunk (pl. a törtfüggvénynél tett kikötés alapján x = 5-nél szakadási helyen van a függvénynek).
Egy függvény szélsőértéke kétfajta lehet: minimum vagy maximum. Ha a függvényérték az adott környezetben a legnagyobb, akkor lokális (helyi) maximumról beszélhetünk (másképp fogalmazva: szigorúan monoton növekvőből csökkenőbe vált), míg ha a legkisebb, akkor lokális (helyi) minimumról (másképp fogalmazva: szigorúan monoton csökkenőből növekvőbe vált). Ha egy olyan pontot találunk, ami az egész függvényt tekintve a legnagyobb, akkor az egy globális (abszolút) maximum vagy ha az a legkisebb, akkor az egy globális (abszolút) minimum.
Konvexitás és inflexiós pont
Egy függvény konvexitása azt adja meg röviden, hogy a függvény bizonyos szakaszokon konvex (mosolygós) vagy konkáv (szomorú). A függvény biztosan konvexitást vált ott, ahol inflexiós pontot találunk, azonban konvexitást válthat, ahol szakadási helyet találunk (pl. a törtfüggvénynél tett kikötés alapján x = 5-nél szakadási helyen van a függvénynek).
Egy függvény inflexiós pontja az a hely, ahol a függvény konvexitást vált (nem számít, hogy konvexből konkávba vagy fordítva).
Értékkészlet
Jelölése általában Rf-el történik és azt adja meg, hogy az y-tengelyen mik azok a függvényértékek, amit felvesz a függvény. Az értékkészletet befolyásolhatja a szélsőérték(ek), valamint a határérték(ek) is (ez egyetemi matek anyag, egy későbbi cikkben bővebben is lesz róla szó).
Bár a paritás is része a függvényelemzésnek, ezt jellemzően nem szokták kérni az egyetemi órákon.
