A nevezetes azonosságok sok bosszúságot okozhatnak az egyetemi matek alatt is, ha nem tudod azokat helyesen feloldani. Biztosan szisszent már fel a te középiskolai matektanárod is, amikor az (a+b)2 kifejezésre valaki (lehet éppen Te) válaszul a2+b2-t írtál – helytelenül.
Ebben a bejegyzésben a leggyakrabban előforduló nevezetes azonosságokat nézzük át – kezdjünk is bele!
Két tag összegének négyzete
Röviden:
Levezetve:
Két tag összegének négyzete úgy bontható fel, hogy vesszük az első tag négyzetét, ehhez hozzáadva a két tag szorzatát kétszer véve majd hozzáadva a második tag négyzetét.
Két tag különbségének négyzete
Röviden:
Levezetve:
Két tag különbségének négyzete úgy bontható fel, hogy vesszük az első tag négyzetét, ebből kivonva a két tag szorzatát kétszer véve majd hozzáadva a második tag négyzetét. Vegyük észre a levezetésnél, hogy a második tagunk -b, azaz mínusz b.
Két tag különbségének és összegének szorzata
Röviden:
Levezetve:
Két tag különbségének és összegének szorzata úgy bontható fel, hogy vesszük az első tag négyzetét majd ebből elvesszük a második tag négyzetét. Vegyük észre a levezetésnél, hogy a +(a*b) és a -(a*b) kiejtik egymást.
Két tag összegének harmadik hatványa (köbe)
Ezt most csak röviden (az előző logika alapján ugyanúgy levezethető, de kicsit több időbe telne):
Én annak idején ezt úgy jegyeztem meg könnyen, hogy az egyik tag fokszáma folyamatosan csökken, míg a másik tag fokszáma folyamatosan nő. Kezdődik azzal, hogy a3, majd a következő tagban már csak a2, majd a1 (avagy röviden: a) és végül eltűnik (mondhatjuk azt, hogy a0), míg a b-vel ez pont fordítva történik: elsőnek semmi, majd b, utána b2 és végül b3. Természetesen nem felejtjük el, hogy a két középső tag 3-al még be is van szorozva. Összeadás révén pedig minden tag összeadódik.
Két tag különbségének harmadik hatványa (köbe)
Ezt is csak röviden:
Ez annyiban különbözik az előzőtől (két tag összegének köbe), hogy a második és az utolsó tag negatív előjellel szerepel – minden más ugyanaz.
Érdekelne néhány konkrét példa is, hogy ezeket hogyan kell alkalmazni?
Készítettem ehhez a bejegyzéshez egy oktatóvideót is, ahol mindegyik nevezetes azonosságra mutatok egy-egy példát.
