A 8.-os matek felvételi első feladatban és később a feleletválasztós részben is gyakran találkozni oszthatósággal kapcsolatos feladatokkal, így például a prímtényezős felbontással vagy épp a legnagyobb közös osztó vagy a legkisebb közös többszörös megkeresésével. Itt és most ezeket foglalom össze.
Prímszámok és összetett számok
Az oszthatósághoz szorosan kötődnek a prímszámok és az összetett számok.
Azokat a természetes számokat nevezzük prímszámoknak, amelyeknek pontosan két osztójuk van (az 1 és önmaguk).
Azokat a természetes számokat nevezzük összetett számoknak, amelyeknek kettőnél több osztójuk van.
Legkisebb közös többszörös
Két vagy több pozitív egész szám legnagyobb közös osztójának a vizsgált számok közös osztói közül a legnagyobbat nevezzük. Ha két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója az 1, akkor ezeket relatív prímszámoknak nevezzük.
Legnagyobb közös osztó
Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszörösén a vizsgált számok közös többszörösei közül a legkisebbet nevezzük.
Gyakorló feladat
Határozd meg a 168 és a 288 legnagyobb közös osztóját!
Először felírjuk mindkét szám prímtényezőkre bontott alakját. Ehhez elkezdjük osztani a fenti számokat a lehető legkisebb prímszámmal, egészen eddig, míg 1-et nem kapunk eredményül, ezt követően felírjuk a szorzatot.
A 168 prímtényezős felbontása: 168 = 23*3*7
A 288 prímtényezős felbontása: 288 = 25*32
A 168 és a 288 legnagyobb közös osztóját úgy kapjuk meg, ha a közös tényezők szorzatát vesszük a legkisebb hatványon. Ez alapján a 23*3 = 24 a legnagyobb közös osztó.
