A függvény kifejezéssel elég gyakran találkozni a középiskolai matektanulás során, ami nem véletlen: az élet minden területén találni összefüggéseket, melyeket függvényekkel is jellemezhetünk. Például a testmagasság és a testsúly viszonyát, vagy éppen a kinti hőmérséklet és a gázfogyasztás alakulását is ábrázolhatjuk ilyen módon.

A mai leckében a lineáris és a másodfokú függvényekkel fogunk megismerkedni, de egy másik leckében a gyök, az exponenciális és a lineáris törtfüggvény is elő fog kerülni.

A függvény (definíció szerint) egy egyértelmű hozzárendelés, azaz vannak x-ek és ezekhez egyesével hozzárendelünk egy-egy y-t (de pontosan csak egyet – ezt jelenti az egyértelmű).

Fontos, hogy a függvények képét MINDIG balról jobbra nézzük és elemezzük.

Azt, hogy milyen x-ek jöhetnek szóba, az értelmezési tartomány határozza meg (D_f – D, mint domain), míg azt, hogy milyen y-ok, azt pedig az értékkészlet (R_f – R, mint range).

Magát a függvényt szokták jelölni egy betűvel is, mint f= vagy g=, időnként hozzákötnek egy x-et is: f(x)= vagy g(x)= (ezzel fejezik ki, hogy x-től függ a függvényérték).

Lineáris függvény

A lineáris függvényeket nagyon röviden úgy lehetne jellemezni, hogy nincs bennünk görbület, csak egyszerűen egy egyenesről beszélünk.

Konstans függvény

Egy speciális fajtája a lineáris függvényeknek a konstans függvény, ami minden egyes x-hez azonos y-t rendel hozzá. Ezt felismerni, illetve felvázolni egy vízszintes egyenessel lehet. A lenti ábrán a piros függvény esetén látható, hogy minden x-hez a 3-as y-t rendeli, míg a zöld esetén minden x-hez a -2-es y-t.

Elsőfokú függvény

A lineáris függvények gyakrabban előforduló fajtája az elsőfokú függvény, aminek általános formája:

f(x) = a*x + b

Ahol az “a” tag fejezi ki a függvény meredekségét (röviden: ha a függvény mentén kilépünk egyet jobbra, akkor mennyit kell felfele vagy lefele menni, kicsit csúnyábban: ha az x-et egy egységgel növeljük, akkor ehhez az y mekkora nagyságú változása tartozik), míg a “b” tag a függvény y-tengellyel vett metszéspontját (kicsit csúnyábban: ha az x=0, akkor ahhoz milyen y tartozik). Ezen tagokat sokféle különböző betűvel szokták jelölni, statisztikában például b₀-val a “b” tagot, míg b₁-el az “a” tagot, de ugyanazt fejezik ki (annyi különbséggel, hogy statisztikában már konkrét, köznapi jelentést is fogunk tudni (és kell is!) társítani ezekhez – erről bővebben majd később).

Pozitív meredekségű az egyenes (azaz növekvő a függvényünk), ha az “a” tag pozitív (az ábrán a lila és a barna függvények) és negatív meredekségű (azaz csökkenő a függvényünk), ha az “a” tag negatív (az ábrán a szürke függvény).

Másodfokú függvény

A jó kis parabolák biztosan rémlenek még. A másodfokú függvények általános formája:

f(x) = a*x² + b*x + c

(ahol az a≠0, hiszen ha a=0, akkor nem beszélhetünk másodfokú függvényről)

A függvényben lévő “a” tag előjele adja meg, hogy a parabola szomorú vagy vidám. Ha az “a” tag előtt egy negatív szám áll, akkor a parabola szomorú (lefelé nyitott), ha pedig az “a” tag előtt egy pozitív számot látunk, akkor a parabola vidám (felfelé nyitott). Ha pedig ezeket le tudjuk olvasni, akkor a függvény monotonitásának megállapítása sem fog a későbbiekben gondot okozni (erről bővebben később).

Ha az “a” tag abszolút értéke 1-nél nagyobb, akkor a parabola egyre jobban összecsukódik, míg ha az “a” abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a parabola egyre jobban szétnyílik (nézd az ábrán a zöld és a piros függvényeket).

A teljes négyzetté alakítás segítségével (IDE kattintva találsz hozzá segítséget) könnyen meg tudjuk adni a függvény szélsőértékét (ami lehet maximum vagy minimum) – a teljes függvényvizsgálatról ITT olvashatsz.