Rövid feladatok: hatványazonosságok

A különböző hatványazonosságok használata a felvételin főként az első feladatban szokott előjönni. Ezek kevésbé kézzel foghatóak, mint egy kombinatorikai feladat, amikor embereket ültetünk le egymás mellé… de ez van. 🙂

Ebben a leckében a hatványazonosságokat vesszük át – röviden.

Hatvány

Definíció: Az “a” valós szám “n”-edik hatványa azt jelenti, hogy az “a” számot “n” alkalommal összeszorozzuk önmagával. Azaz például: a¹ = a vagy a⁴ = a*a*a*a

Csak, hogy biztosan azonos fogalmakra gondoljunk, álljon itt egy kép:

Azonos alapú hatványokkal végzett műveletek

Azonos alapú hatványok szorzása

Két (vagy több) azonos alapú hatvány szorzása úgy történik, hogy a hatványkitevőket összeadjuk. Igen, tudom, hogy furcsa, hogy bár szorzás van közöttük, de mégis összeadódnak a kitevők – ilyen ez a matek. 🙂

Azonos alapú hatványok osztása/hányadosa

Két (vagy több) azonos alapú hatvány osztása úgy történik, hogy a hatványkitevőket kivonjuk – a számláló (felső tag) kitevőjéből a nevező (alsó tag) kitevőjét.

Azonos kitevőjű hatványokkal végzett műveletek

Azonos kitevőjű hatványok szorzása

Két (vagy több) azonos kitevőjű hatvány szorzása úgy történik, hogy a hatványalapokat összeszorozzuk és ezt a szorzatot emeljük a (közös és egyben azonos) kitevőre.

Azonos kitevőjű hatványok osztása/hányadosa

Két (vagy több) azonos kitevőjű hatvány osztása úgy történik, hogy a hatványalapokat elosztjuk és ezt a hányadost (törtet) emeljük a (közös és egyben azonos) kitevőre.

Hatvány hatványozása

Hatvány hatványozása úgy történik, hogy a hatványkitevőket összeszorozzuk.

Feladat: Az alábbi műveletsor eredménye “c” hányadik hatványával egyenlő?

Megoldás:

• A számlálóban (fent) azonos alapú hatványok szorzása van – ilyenkor az alapot megtartjuk, a kitevőket pedig összeadjuk, azaz: c²⋅c⁴ = c²⁺⁴ = c⁶. a “c” az c¹-nek felel meg. Most itt tartunk:

• Egy törtünk van, méghozzá azonos alapú hatványokat osztunk – az alapot megtartjuk, a számláló kitevőjéből (fent a 6-os) kivonjuk a nevező kitevőjét (lent az 1-es), azaz: c⁶ : c¹ = c^6-1 = c⁵.

• Válasz: A műveletsor eredmény “c” ötödik hatványa.