Már a középiskolában is fontos szerepe van annak, hogy a különböző algebrai kifejezéseket hogyan tudjuk egyszerűbb alakra hozni. Ez az egyetemi matematika során is elengedhetetlen, hiszen ezen lépések nélkül nem fogsz tudni bonyolultabb elemzéseket, például szélsőértéket vagy sorozat-tulajdonságokat vizsgálni.
A fontosabb hatványazonosságokat ide kattintva ismerheted meg, most csak felsorolom itt őket:
Azonos alapú hatványok szorzása:
Azonos alapú hatványok osztása:
Hatvány hatványozása:
Azonos kitevőjű hatványok osztása (hányadosa):
Nézzük meg a leggyakrabban előjövő “akadályokat”, amikor algebrai kifejezéssel találkozunk:
Zárójel felbontás
1. eset: A zárójel előtt csak egy szám szerepel:
Az egyik leggyakrabban előforduló ilyen akadály a zárójel. Amikor a zárójel előtt csak egy szám szerepel, az a könnyebb eset. Nézzük meg az alábbi algebrai kifejezést és bontsuk fel a zárójelet!
1.példa: Bontsd fel a zárójelet!
A feladat egyszerű: a zárójel előtti számmal (konstans) beszorzunk minden egyes tagot:
Ezután a 3-al az adott x-ek előtt lévő számokat beszorozhatjuk, így:
2. eset: A zárójel előtt csak egy negatív előjel (valójában -1) szerepel:
A zárójel előtt álló negatív szám valójában (-1)-t takar és figyelni kell, hogy a negatív előjel megváltoztatja az egyes tagok előjeleit. Nézzünk erre is egy példát:
2.példa: Bontsd fel a zárójelet!
Ahogy említettem a negatív előjel valójában (-1)-t jelent, így:
A (-1)-es taggal minden tagot beszorzunk:
Figyelve az összevonásnál, hogy a negatív előjel minden tagnak megváltoztatja az előjelét, ez jön ki:
3. eset: A zárójel előtt egy ismeretlent tartalmazó tag szerepel:
Előfordulhat olyan eset is, hogy nem csak egy szám, hanem egy ismeretlen (vagy akár több) is megjelenik (x, y, z vagy éppen a, b, c) a zárójel előtt. Ilyenkor alkalmazni kell a különböző hatványazonosságokat is. Álljon itt ismét egy példa gyakorlásnak:
3.példa: Bontsd fel a zárójelet!
Először kiírom azt, hogy végigszorzunk minden tagot a (4x) kifejezéssel:
Ezt követően az egyes tagok konstansait (a számokat) összeszorzom (4⋅5=20 és 4⋅4=16 és 4⋅5=20):
Majd elvégzem a szükséges hatványazonosságot (itt az azonos alapú hatványok szorzása szükséges, ami úgy hangzik, hogy a hatványkitevőt összeadhatóak: az x az valójában x1, azaz x1⋅x2 = x1+2 = x3):
4. eset: A zárójel előtt egy másik zárójeles kifejezés szerepel:
A fent bemutatott négy eset közül ez a bonyolultabb eset, de megijjedni nem kell: az a szabály, hogy mindent mindennel szorzunk. Következzen a mai lecke utolsó példája, a teendő ugyanaz:
4.példa: Bontsd fel a zárójeleket!
Az első lépés, hogy az első zárójel minden tagját végigszorozzuk a második zárójel minden tagjával, nyilakkal illusztrálva ezek a szorzatok keletkeznek:
Először csak felírtam a létrejött szorzatokat, bármiféle összevonás nélkül (ne feledd, hogy az első zárójel második tagja nem 2, hanem (-2), tehát a negatív előjelet is viszi magával):
A megfelelő számokat összeszorozhatjuk, illetve az első tag esetén alkalmazhatjuk a 3. esetnél mutatott azonos alapú hatványok szorzata azonosságot (röviden: x1⋅x2 = x1+2 = x3):
A következő bejegyzésekben az algebrai törtek egyszerűsítésével, szorzásával, osztásával, összeadásával és kivonásával fogunk foglalkozni.
