Elgondolkoztál valaha azon, hogy hányféle különböző számkombinációt kellene megtenned az ötöslottón, hogy biztosan legyen telitalálatod? Segítek: 43 949 268-at. Igen, majdnem 44 milliót. Gondoltad volna?
A kombinatorika esetszámlálással foglalkozik, például: hányféleképpen ülhet le egymás mellé 5 ember vagy hányféle módon választhatunk ki 3 ízt a 20 féle különböző ízesítésű fagylalt közül.
2 különböző esetet fogunk átnézni 2 leckén keresztül:
- Számít az elemek sorrendje: az elemek sorba rendezzük. (lecke ITT)
- Nem számít az elemek sorrendje: az összes elemünk közül néhányat kiválasztunk, de a sorrend nem számít.
Nem számít a sorrend: kiválasztás
- Ez történik: “n” darab különböző elemünk van, ezek közül választunk ki néhányat (“k” darabot), de a sorrendet nem figyeljük.
- Például: tízféle szobanövény közül veszünk négyet vagy 30 diák között kisorsolunk 3 tábla csokoládét.
- Feladat: Egy kicsi cukrászdában összesen 5 különböző ízű fagylalt kapható: 2 db csokis (tejcsokis, étcsokis) és 3 db gyümölcsös (eper, barack, citrom) ízű. Írd fel az összes olyan lehetőséget, amikor úgy vásárolunk 3 gombóc fagylaltot, hogy pontosan 1 vagy 2 darab csokis van köztük! A gombócok sorrendjétől eltekintünk, tehát például a tejcsoki-eper-citrom nem különbözik a tejcsoki-citrom-eper ízkombinációtól.
Megoldás:
Először nézzük végig azokat az eseteket, amikor 1 darab csokisat (és 2 db gyümölcsöset) választunk.
Legyen elsőnek a tejcsoki. Ehhez az alábbi módokon kombinálhatunk két gyümölcsös ízt:
- eset: tejcsoki-eper-barack
- eset: tejcsoki-eper-citrom
- eset: tejcsoki-barack-citrom
Most nézzük meg az étcsokit. Ehhez az alábbi módokon kombinálhatunk két gyümölcsös ízt:
- eset: étcsoki-eper-barack
- eset: étcsoki-eper-citrom
- eset: étcsoki-barack-citrom
Most nézzük meg azokat, amikor 2 darab csokisat (és 1 db gyümölcsöset) választunk.:
- eset: tejcsoki-étcsoki-eper
- eset: tejcsoki-étcsoki-citrom
- eset: tejcsoki-étcsoki-barack
Összegezve: összesen 9-féle ízkombinációt alkothatunk a feladat feltételei szerint.
Ha a sorrendet is figyelembe vennénk, akkor sokkal több lehetőség lenne, de a feladat külön kérte, hogy ezt most ne vegyük figyelembe.
Gondolj bele abba, hogy egy nagyobb cukrászdában simán lehet akár 30 féle ízesítés is, amiből három különböző ízű gombóc fagyit már több, mint 4000 féle módon tudnál választani – ilyen felvételin természetesen nem lesz 😀
