A függvények és a koordinátarendszerben felrajzolt síkidomok az utóbbi évek felvételi feladatsoraiban rendszeresen visszaköszönnek. Kellett már például egy deltoid egyetlen hiányzó csúcsának koordinátáit kiszámolni vagy éppen azt, hogy adott pontok rajta vannak-e egy függvényen…
Pár szó a függvényekről
Létrehozhatunk valamilyen (hozzárendelési) szabály szerint számpárokat. Minden ilyen számpár egy x-ből és egy y-ból áll. Lehet például az, hogy:
- minden x-hez pontosan ugyanazt az y-t rendeljük, tehát pl. a -3 párja a -3, az 5 párja az 5, vagy
- minden x-hez pontosan a dupláját rendeljük y-ként, pl. -2-höz a -4-et és 2-höz a 6-ot, vagy
- ettől bonyolultabb összefüggéseket is megadhatunk: például y = 3x – 4…
Függvényről viszont csak akkor beszélhetünk, ha minden x-hez csak egyetlen y-t társítunk (csúnya szóval kifejezve: a függvény egy egyértelmű hozzárendelés). Figyelem, ez nem azt jelenti, hogy minden x-hez ugyanazt az y-t társítjuk, hanem azt, hogy egy x-hez csak egy y tartozhat.
- Ha az x = 2-höz az y = 2-t társítjuk, és ez minden x-re igaz lesz, hogy egy db y párja van, akkor függvényről beszélünk.
- Ha az x = 2-höz az y = 2-t és az y = 4-t is párosítjuk, az már nem függvény.
Néhány példa függvényekre a való életből:
- a január egyes napjaihoz (x = 1; 2; 3; …; 31) hozzárendeljük az aznapi legmagasabb magyarországi hőmérsékletet (y = -5; -2; 0; …),
- egy diák esetében minden születésnapjához (aktuális életkorához) (x = 0; 1; 2; …) hozzárendeljük az akkori testmagasságát (y = 50; 120; 145; …) vagy
- egy élelmiszerbolt adott napi bevételéhez (ezer forint) hozzárendeljük az adott napi nyereségüket (nyereség = ami megmarad a bevételből, miután kifizették a költségeket – pl. áram, gáz, víz, dolgozók, termékek beszerzési ára, stb…)
Amikor ábrázolunk egy pontot vagy egy függvényt a koordinátarendszerben, akkor fontos szabály:
- a vízszintes tengely az az x-tengely nevet viseli (ez minden pont ELSŐ koordinátája), míg
- a függőleges tengely az az y-tengely nevet viseli (ez minden pont MÁSODIK koordinátája).
Síkidomok a koordinátarendszerben
Egy négyzetet, egy téglalapot, de bármilyen más alakzatot is elhelyezhetünk egy koordinátarendszerben. A háromszögek és a négyszögek esetében a csúcsokat szokták megadni egy x-y számpárral, de volt már rá példa, hogy egy egy függvény vagy egyenes segítségével adták meg, hogy hol található a hiányzó csúcs.
Ezek nem függvények, hiszen ha ábrázolunk egy téglalapot a koordinátarendszerben (csúcsai: A(2;2), B(2;6), C(8;6) és D(8;2) – ábra pont ezen szöveg alatt!), akkor látható, hogy az x = 2-höz több y is társul: a 2 és 6 közötti szakaszon végtelen sok. Ugyanígy az x = 8-hoz is végtelen sok y társul, szintén a 2 és 6 közötti szakaszon.
Gyakorló feladat
Adott egy paralelogramma 3 csúcsa: A(1;2), B(3;6) és C(6;6).
- A) Határozd meg a paralelogramma negyedik, D csúcsának két koordinátáját, ha ismert, hogy a paralelogramma csúcsai az óramutató járásával egyezően haladnak!
- B) A paralelogramma kerületén, a síkidomon belül vagy kívul van az E(3;2) pont?
Megoldás:
A) rész:
- A paralelogramma szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak.
- Emiatt ha a B és C pontok távolságát hozzámérjük az A ponthoz, azzal be is tudjuk rajzolni a D pontot.
- A B és C pontok távolsága 3 egység, tehát ha az A pontból is kilépünk jobbra három egységet, akkor a D pont két koordinátája: (4;2).
- Az óramutató járásával kapcsolatos infó nagyon fontos, mert így egyértelmű, hogy a keresett D pont az A és C pontok között van. Ha ez nem lett volna, akkor lett volna egy másik D pont is, ami paralelogrammává teszi az alakzatot.
B) rész:
- Ha felvesszük az ábrábra az E (3;2) pontot, akkor mindössze arra kell figyelni, hogy az első koordináta azt jelenti, hogy hányat kell jobbra/balra lépni az origóból (origó: a két tengely metszéspontja), míg a második koordináta azt, hogy hányat kell fel/le lépni az origóból.
- Zölddel jelöltem az E pontot, ami pont a paralelogramma kerületén található.
