Hatvány, gyök és logaritmus

A különböző egyenletek és egyéb, például függvényekkel kapcsolatos matematikai problémák megoldása során gyakran találkozni olyan esetekkel, amikor valamilyen hatvány vagy gyök azonosságot kell alkalmazni, netán logaritmussal kell számolni.

Ebben a leckében a hatványazonosságokat, a négyzetgyökvonás azonosságait és a logaritmust vesszük át.

Hatvány

Definíció: Az “a” valós szám “n”-edik hatványa (ahol “n” értéke pozitív egész szám és n >= 2) olyan n-tényezős szorzat, melynek minden tényezője “a”. Azaz például: a¹ = a vagy a⁴ = a*a*a*a

Csak, hogy biztosan azonos fogalmakra gondoljunk, álljon itt egy kép:

Azonos alapú hatványokkal végzett műveletek

Azonos alapú hatványok szorzása

Két (vagy több) azonos alapú hatvány szorzása úgy történik, hogy a hatványkitevőket összeadjuk. Igen, tudom, hogy furcsa, hogy bár szorzás van közöttük, de mégis összeadódnak a kitevők – ilyen ez a matek. 🙂

Azonos alapú hatványok osztása/hányadosa

Két (vagy több) azonos alapú hatvány osztása úgy történik, hogy a hatványkitevőket kivonjuk – a számláló (felső tag) kitevőjéből a nevező (alsó tag) kitevőjét.

Azonos kitevőjű hatványokkal végzett műveletek

Azonos kitevőjű hatványok szorzása

Két (vagy több) azonos kitevőjű hatvány szorzása úgy történik, hogy a hatványalapokat összeszorozzuk és ezt a szorzatot emeljük a (közös és egyben azonos) kitevőre.

Azonos kitevőjű hatványok osztása/hányadosa

Két (vagy több) azonos kitevőjű hatvány osztása úgy történik, hogy a hatványalapokat elosztjuk és ezt a hányadost (törtet) emeljük a (közös és egyben azonos) kitevőre.

Hatvány hatványozása

Hatvány hatványozása úgy történik, hogy a hatványkitevőket összeszorozzuk.

Négyzetgyökvonás

Az “a”>=0 szám négyzetgyökének azt a nem negatív számot nevezzük, melynek négyzete “a”.

Kezdjük itt is az alapfogalmakkal:

Azonos gyökkitevőjű hatványok szorzása

Két (vagy több) azonos gyökkitevőjű hatvány szorzása úgy történik, hogy a két hatvány szorzatát a közös gyökkitevő alá hozzuk.

Azonos gyökkitevőjű hatványok osztása

Két (vagy több) azonos gyökkitevőjű hatvány osztása úgy történik, hogy a két hatvány hányadosát a közös gyökkitevő alá hozzuk.

Gyökjel eltüntetése

Egy tetszőleges gyök alatti hatvány esetén a gyökjel eltüntethető, ha a gyök alatti hatvány kitevőjét elosztjuk a gyökkitevővel.

Egymásba ágyazott gyökök összevonása

Egymásba ágyazott (értsd: egymás alatti) gyökök összevonása úgy történik, hogy a hatványt a gyökkitevők szorzatának gyöke alá vonjuk.

Logaritmus

Definíció: Egy pozitív “x” valós szám “a” (a>0 és a nem egyenlő 1-gyel) alapú logaritmusának nevezzük azt a kitevőt, amelyre “a”-t emelve “x”-et kapunk:

log_ax = c –> a^c = x

Tetszőleges alapú logaritmusról könnyen áttérhetünk másik tetszőleges alapú logaritmusra, így:

Érdekelne néhány konkrét példa is, hogy ezeket hogyan kell alkalmazni?

Készítettem ehhez a bejegyzéshez egy oktatóvideót is, ahol mindegyik hatványazonosságra mutatok egy-egy példát.