A halmazok témakör a matematika egyik (ha nem a) legalapvetőbb témaköre, sok-sok más anyagrésznél hasznosak az itt meglévő alapfogalmak. Ebben a bejegyzésben ezeket vesszük át.
Véges és végtelen számosságú halmaz, üreshalmaz, részhalmaz, komplementer
A halmaz valamilyen elemek összességét jelöli. Például a pozitív, páros számok halmazának tagjai a 2, 4, 6 és így tovább… Mondhatjuk, hogy ez egy végtelen számosságú halmaz, hiszen nem tudjuk megadni, hogy hány pozitív páros szám létezik. De ha a kétjegyű, pozitív, 10-zel osztható számok halmazát vesszük, az már véges számosságú, hiszen könnyen megadható elemei és azok száma: 10, 20, 30, (…) és végül a 90, tehát ennek a halmaznak 9 elemű van.
Egy-egy elemről megmondhatjuk, hogy része a halmaznak vagy sem. Például a 20 része a kétjegyű, 10-zel osztható számok halmazának, de nem része a pozitív, hárommal osztható számokének.
Beszélhetünk komplementerről (tagadásról) is – ennek jelölése az adott halmaz betűjele fölé húzott vonallal történik. Az “A” halmaz komplementerében (jelölése: A̅) azokat az elemeket találjuk, melyek nem tagjai az “A” halmaznak. Ha tehát az “A” halmazban a pozitív számokat találjuk, akkor az “A” halmaz komplementerében pedig a nem-pozitív számokat, azaz a nullát és a negatív számokat.
Beszélhetünk üreshalmazról is (jelölése: { } vagy ∅) : ez egy olyan halmaz, melynek nincsenek elemei. Például nincs olyan pozitív, egyjegyű szám, ami egyszerre osztható 3-mal és 4-gyel is (a 12 lenne az első ilyen, de ez már kétjegyű).
Egy adott “A” halmaz akkor részhalmaza egy adott “B” halmaznak, ha “A” minden tagja a “B”-nek. Például ha a “B” halmaz a pozitív, páros számok és az “A” halmaz a pozitív, néggyel osztható számok, akkor kijelenthető, hogy az “A” valóban részhalmaza a “B”-nek, hiszen minden pozitív néggyel osztható szám biztosan páros is. Ugyanakkor a két halmaz nem egyenlő, mert vannak olyan elemek, melyek “B”-nek elemei, de “A”-nak nem: ilyen minden pozitív, néggyel nem osztható páros szám – pl. 2, 6, 10, 14, (…).
Műveletek halmazokkal – unió, metszet, különbség
Két halmaz uniója (összege – jelölése: ∪): minden olyan elem tagja az uniónak, amely vagy “A”-nak vagy “B”-nek eleme (szokás úgy is mondani, hogy legalább az egyik halmaznak tagja).
Két halmaz metszete (szorzata, avagy közös része – jelölése: ∩): minden olyan elem tagja az uniónak, amely “A”-nak és “B”-nek eleme (szokás úgy is mondani, hogy mindkét halmaznak tagja).
Két halmaz különbsége: az A mínusz B halmaznak (jelölve: A\B vagy A-B) minden olyan elem tagja, mely tagja “A”-nak, de “B”-nek nem. Fontos megjegyezni, hogy az A mínusz B és a B mínusz A halmazok általában nem azonosak.
Egy kis szemléltető példa:
A “T” halmazba tartozzanak azok a diákok, akik fent vannak TikTokon, míg az “I” halmazba azok, akik fent vannak instagramon.
T unió I (jelöléssel: T ∪ I): azok a diákok, akik legalább az egyik platformon jelen vannak (TikTokon, instagramon vagy akár mindkettőn).
T metszet I (jelöléssel: T ∩ I): azok a diákok, akik mindkét platformon jelen vannak (TikTokon és instagramon is fent vannak).
T különbség I (jelöléssel: T-I vagy T\I): azok a diákok, akik TikTokon fent vannak, de instagramon nem.
I különbség T (jelöléssel: I-T vagy I\T): azok a diákok, akik instagramon fent vannak, de TikTokon nem.
T komplementere (jelöléssel: T̅): azok a diákok, akik nincsenek fent a TikTokon. Vigyázzunk, mert ebből nem következik az, hogy instagramon fent lennének, hiszen az is lehet, hogy egyiken sincsenek fent.
Logikai szita
Ez leginkább számolást igénylő példáknál hasznos. Azt mondja ki, hogy két (legyen most A és B) halmaz uniójának (összességének) elemszámát úgy adhatjuk meg, ha összeadjuk az “A” halmaz és a “B” halmaz elemeinek számát és ebből levonjuk azon elemek számát, amelyek a metszetben vannak (azaz A-nak és B-nek is elemei). Matematikai jelölésekkel:
|AUB| = |A| + |B| – |A∩B|
Használjuk a gyakorlatban a fentit, így térjünk vissza egy kicsit a TikTok-insta példára. Tegyük fel, hogy egy osztályban mindenki fent van legalább az egyik említett appon. 25 fő TikTokon, 20 fő instán és 15 fő mindkettőn. Hány fős az osztály?
Ha összeadjuk a TikTokon lévő 25 főt és az instán lévő 20 főt, az 45 főt jelent, de vigyázzunk: vannak olyanok is, akik mindkettőn fent vannak (ők 15-en vannak), és ez a 15 fő a tiktokon lévő 25-ben és az instán lévő 20-ban is benne van, tehát egyszer le kell vonnunk a fenti 45 főből a metszetet, tehát az osztálylétszám: 45-15 = 30 fő.
