Menu
2. témakör – Határérték számítás
Gazdasági matematika 1.
A határérték számítás témakörével legfeljebb akkor találkozhattál középiskolában, ha emelt szintű matekot tanultál – egyébként nem kellett volna (talán jobb is…). Ez egy új anyagrész szinte mindenkinek – a függvényelemzéshez tartozik, ám szükséges hozzá a hatványazonosságok ismerete is.
A határérték azt mutatja meg, hogy egy adott helyen a függvényértékek “hová tartanak” – ez lehet akár egy konkrét konstans is, de a végtelen is gyakori végeredmény.
A határérték bemutatása függvényábra segítségével
Egy függvénynek vizsgálhatjuk végtelenben és véges helyen is a határértékét. Nézzük meg a következő függvényt, aminek csak a képét ismerjük:
A végtelenben vett határérték
A fenti függvénynek nézzük meg, hogy mennyi a mínusz végtelenben vett határértéke. Ez azt jelenti, hogy ha az x-tengely mentén haladunk a mínusz végtelen irányába (tehát balra), akkor a függvényhez tartozó értékek hova tartanak, illetve esetünkben milyen számhoz “simulnak”. Az ábráról szépen leolvasható, hogy ez bizony 1 lesz.
Ugyanez a helyzet a plusz végtelenben vett határértékkel is – ha jobbra haladunk, a plusz végtelen irányába, szintén 1-hez közelítenek a függvényértékek. Tehát azt mondhatjuk, hogy a függvény mínusz és plusz végtelenben vett határértéke is 1. Ez matematikai nyelven leírva:
A véges hely(ek)en vett határérték
A végteleneken túl véges helyen is vizsgálhatjuk egy függvény határértékét. Ez az egyetemi matek tanulmányok során a szakadási helyen vett határértéket fogja takarni. Szakadási helynek tekintünk minden olyan “helyet”, ahol a függvény nincs értelmezve – ez a fenti példa alapján -5-nél van, itt szakadt két részre a függvény. Vegyük észre, hogy konkrétan -5-ben nem tudunk határértéket vizsgálni, csak annak a “környékén” – ez úgy szoktuk hívni, hogy -5-től egy kicsit kilépünk balra (baloldali határérték), illetve egy kicsit kilépünk jobbra (jobboldali határérték).
Ha balra lépünk ki a -5-től, akkor látható, hogy a függvényünk megy fölfelé, egészen pontosan a függvényértékek a plusz végtelen irányába tartanak. Amennyiben jobbra lépünk, akkor a függvényértékek lefelé, azaz a mínusz végtelen irányába tartanak. Ilyen esetben, amikor eltér a kétoldali határérték, azt mondjuk, hogy -5-ben nincs a függvénynek határértéke. Szintén matematika nyelven tehát:
Mire jók a fentiek és miként lehet a ZH-ban?
Az 1. ZH-ban mindenki fog kapni végtelenben és véges helyen vett határérték számítási feladatot is. Ha szeretnéd gyakorolni, hogy hogyan lehet ezt kiszámolni a függvényábra tudta nélkül is (mert a ZH-n a függvény képe nem lesz ismert), nézd meg a következő videót:
Tetszett a bejegyzés és a videó?
Ha IGEN a válaszod, akkor lájkold a Mádi Matek Facebook-oldalát a további INGYENES anyagokért, vagy iratkozz fel a hírlevélre, amihez ZH felkészülési tippek és ajándék MINTA ZH is jár. 🙂
