Már a középiskolában is fontos szerepe van annak, hogy a különböző algebrai kifejezéseket hogyan tudjuk egyszerűbb alakra hozni. Ez az egyetemi matematika során is elengedhetetlen, hiszen ezen lépések nélkül nem fogsz tudni bonyolultabb elemzéseket, például szélsőértéket vagy sorozat-tulajdonságokat vizsgálni.
A bejegyzés 1. részében a zárójel-felbontással (ide kattintva olvashatod el), a 2. részében az algebrai törtek egyszerűsítésével és szorzásával (kattints ide az elolvasáshoz) foglalkoztam. Most pedig elérkezett a 3 részes cikksorozat utolsó része, ami a törtek osztásával, összeadásával és kivonásával foglalkozik. Kezdjük el!
Algebrai törtek osztása
A jó kis négyszintes algebrai törtek (fuj!). Ezek valódi osztását jobb elkerülni. Jó hír, hogy ezt megtehetjük. Egy tört törttel való osztásakor a nevezőben (alul) lévő tört reciprokával szorozhatjuk a számlálóban (felül) lévő törtet. A reciprok azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt felcseréljük.
1.példa: Végezd el az alábbi osztást!
Itt is kezdjünk a szokásos első lépéssel, ami a törtek esetén kötelező: a kikötéssel. Egyrészt le kell szögezni, hogy egyik tört nevezője (alsó tag) sem lehet 0, DE: tört törttel való osztásakor figyelni kell, hogy az osztó (a 2. tört) számlálója sem lehet 0. Miért is? Ahogy említettem, a reciprokkal fogunk szorozni, azaz ami jelenleg a 2. tört számlálója, az mindjárt a tört nevezője lesz. Nézzük:
A 1. tört nevezője ne legyen egyenlő 0-val. Itt elég egyszerű a helyzet: mivel egy szám áll a nevezőben (5), így ide biztosan nem kerül 0, azaz itt semmilyen x-et nem zárunk ki. Ugyanez a helyzet a 2. tört nevezőjénél is: a 2 soha nem lesz egyenlő 0-val:
Viszont az osztó (2. tört) számlálója sem lehet 0, itt kell egy kis számolás:
Összegezve a 3 kikötés eredményeit: x helyére -1-t nem írhatunk. Kezdjük el a folyamatot: először is szorozzunk a 2. tört reciprokával, azaz egyszerűen csak cseréljük fel a számlálót és a nevezőt, így:
A 2. tört nevezőjéből kiemelhetünk 4-et:
Ezt követően az (x+1) kifejezéssel tudunk egyszerűsíteni, így csak számok maradnak hátra:
A két számlálót, valamint a két nevezőt összeszorozzuk. Végül pedig 2-vel egyszerűsítünk:
2.példa: Végezd el az alábbi osztást!
Kezdjük az 1. törtre vonatkozó kikötéssel:
Folytassuk a 2. törttel (nevező):
Végül pedig, hasonlóan az 1. példához, a 2. tört számlálója esetén is kikötéssel kell élni. Ebben az esetben x-et kiemelhetünk, így egy szorzatot kapva:
Egy szorzat akkor lehet 0, ha legalább az egyik tagja 0. Meg kell vizsgálni 2 esetet is: x nem egyenlő 0-val és x+1 nem egyenlő 0-val:
Összegezvén a kikötéseket: x nem lehet -1/2, 0 és -1 sem. Folytassuk a munkát, pontosabban kezdjük el. Szorozzunk a 2. tört reciprokával:
Az első tört számlálója egy nevezetes azonosság (a2-b2), nevezőjéből 4 kiemelhető, a második tört nevezőjéből x kiemelhető.
Az átalakítások után a (2x+1) kifejezéssel egyszerűsíthetünk, hiszen ez megtalálható fent és lent is. Vigyázzunk, hogy ahol teljesen eltűnik a kifejezés (a 2.tört számlálója) ott marad egy 1-es:
Ezt követően az (x+1) kifejezéssel is lehet egyszerűsíteni:
A számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel összeszorozhatjuk:
Algebrai törtek összeadása és kivonása
Két algebrai tört csak akkor adható össze, illetve vonható ki egymásból, ha nevezőik egyeznek. Tehát a feladatunk, hogy olyan átalakításokat (bővítést) eszközöljünk, hogy az alsó tagok egyezzenek. A bővítés, mint módszer nem olyan bonyolult, mint elsőre tűnik. Nézzünk rá egy példát:
3.példa: Végezd el a törtek összeadását!
Szokásos kikötések, először az 1. tört nevezőjére:
Majd a 2. tört nevezőjére.
Összefoglalva: x helyén sem -3, sem 2 nem állhat.
Miért jó a bővítés és mit is jelent ez?
Elkezdődhet az azonos nevezőre hozás, amit bővítéssel fogunk végrehajtani. Ez azt jelenti, hogy mindkét törtet szorozzuk a másik tört nevezőjéből képzett törttel. Tehát a 4/(x+3) törtet (x-2)/(x-2)-vel szorozzuk, a 6/(x-2) törtet pedig (x+3)/(x+3)-al.
Felvetődhet rögtön a kérdés: ennek mégis mi értelme van és honnan jön ez? A bővítés során mindig egy olyan törttel kell szorozni, melynek számlálója és nevezője is ugyanaz. Miért? Mert ekkor a tört értéke pontosan 1 lesz, hiszen ha egy kifejezést (vagy számot) önmagával osztunk, akkor annak mindig 1 lesz az eredménye. Tehát bár kibővítjük a törtünket, de az értéke nem fog megváltozni!
A bővítés eredményeként pedig elértük, hogy mindkét tört nevezője azonos (x+3)(x-2), így a törtek számlálói között (!) elvégezhető az adott művelet. Itt és most az összeadás. Fontos megjegyezni, hogy a törtek nevezőit nem adjuk össze (!), az mindössze a közös nevező marad:
Felbonthatjuk a zárójeleket mindenhol, így ezeket kapjuk:
Az azonos színnel jelölt tagok összevonhatóak és ezek jönnek ki eredményül:
Ha szükséges, akkor a számlálóból 10-et kiemelhetünk:
4. példa: Végezd el a törtek kivonását!
Álljon itt a két törtre vonatkozó kikötés:
Látható, hogy a két kikötés eredménye ugyanaz lett: x nem lehet -3.
A szabály ugyanaz, mint a törtek összeadásánál: előtte azonos nevezőre kell hozni őket. Itt is megtehetjük azt, mint az előző, 3. példában, hogy mindkét törtet szorozzuk a másik tört nevezőjéből képzett törttel, ám itt van egy ennél egyszerűbb megoldás is.: Az 1. tört nevezője (x+3)2, míg a 2. tört nevezője (x+3). Azaz ha valahogy az (x+3) kifejezést a négyzetre tudnánk emelni, akkor máris azonos lenne a két tört nevezője. Egy szám vagy kifejezés négyzete azt jelenti, hogy önmagával megszorozzuk – tegyünk így!
Szorozzuk be a 2. törtet (x+3)/(x+3)-al.:
A törtnél elvégeztem a szorzást, ez jött ki (az (x+3)(x+3) összevonható és (x+3)2 lesz belőle):
Vonjuk össze a két törtet, azaz a számlálókat vonjuk ki egymásból (figyeljünk, hogy a nevezőket nem kell kivonni egymásból, marad a közös nevező, azaz (x+3)2):
Bár csábítónak tűnhet, hogy az (x+3)-t kiejtsük, hiszen látjuk őt a számlálóban és a nevezőben is, de ez matematikailag helytelen lenne! Miért? Mert ahhoz az (x+2) mellett is kellene legyen szorzatként egy (x+3) kifejezés. Szabály szerint tört esetén minden egyes tagnak tartalmaznia kell a kiejtendő tagot, hogy valóban tudjunk így egyszerűsíteni.
Végezzük el a zárójel felbontást a számlálóban, azaz szorozzuk az (x-4)-t az (x+3)-al:
Az eredményben a pirossal jelölt +3x és -4x összevonható:
Vegyük észre, hogy a zárójel előtt egy negatív előjel áll, ami a zárójel elhagyását annyiban bolygatja meg, hogy minden zárójeles tag előjelet fog váltani.:
Az azonos színnel jelzett tagok összevonhatóak és így meg is kapjuk az eredményünket.:
