Algebrai kifejezések 2.rész – Törtek egyszerűsítése, szorzása

Már a középiskolában is fontos szerepe van annak, hogy a különböző algebrai kifejezéseket hogyan tudjuk egyszerűbb alakra hozni. Ez az egyetemi matematika során is elengedhetetlen, hiszen ezen lépések nélkül nem fogsz tudni bonyolultabb elemzéseket, például szélsőértéket vagy sorozat-tulajdonságokat vizsgálni.

A bejegyzés 1. részében, amit ide kattintva olvashatsz el, a zárójel-felbontás eseteivel foglalkoztam. Itt és most pedig a törtek kerülnek a figyelem középpontjába. Lássuk!

Amire MINDIG figyeljünk törteknél

Az, hogy algebrai kifejezésként vagy függvényként kezelünk egy törtet mindegy abból a szempontból, hogy a tört alsó tagja (vagy több tag esetén tagjai) (nevező) nem lehet 0 egyik esetben sem, így minden esetben kikötéssel kell kezdeni.

Algebrai törtek egyszerűsítése

Az egyszerűsítés alatt azt értem, hogy mind a tört felső tagját (számláló), mind a tört alsó tagját (nevező) ugyanazzal a számmal vagy kifejezéssel osztjuk – vizuálisan: kiejtjük az azonosokat.

1.példa: Egyszerűsítsd a kifejezést!

Az első lépés a kikötés, azaz, hogy a tört nevezője (alsó tag) nem lehet egyenlő 0-val:

Elveszünk 3-t mindkét oldalból:

Majd 3-al osztjuk mindkét oldalt:

A kikötésünk tehát, hogy az x nem lehet egyenlő -1-el. Kezdhetünk egy kiemeléssel: a számlálóban (felső tag) a 6-t, míg a nevezőben (alsó tag) a 3-t tudjuk kiemelni:

Ezt követően 3-al tudjuk osztani mind a számlálót, mind a nevezőt és ezt kapjuk:

Ha szükséges, akkor a számlálóban maradt szorzót (ebben a példában a 2-t) akár a tört elé is kihozhatjuk, ugyanis így ugyanazt a kifejezést kapjuk (csak más formában), mintha meghagynánk a számlálóban:

2.példa: Egyszerűsítsd a kifejezést!

Ismét kiemeléssel kezdünk, azaz a tört nevezője nem lehet egyenlő 0-val:

Mindkét oldalhoz hozzáadunk 9-et:

Majd négyzetgyököt vonunk mindkét oldalból. Figyelj rá, hogy 9 négyzetgyöke a +3 és a -3 is. (Az eredmény könnyen ellenőrizhető: (+3)⋅(+3)=9, de (-3)⋅(-3)=9)

Tehát az x helyén sem +3, sem -3 nem állhat. Elkezdhetjük a kiemelést: a fenti tagból (számláló) kiemelhetünk 5-t, a lenti tag mögött viszont egy nevezetes azonosság bújik meg (ha ezekről szeretnék részletesebben is olvasni, kattints ide):

a2-b2=(a+b)⋅(a-b)

Az a2 az az x2, tehát az “a” tag az x lesz, míg a b2 az a 9, azaz mit emeltünk négyzetre, hogy 9 jött ki: igen, a 3-at, tehát a “b” tag a 3 lesz. Alkalmazva az említett azonosságot:

(x-3)-al le tudjuk osztani a számlálót és a nevezőt is (avagy lehúzzuk ezeket a tagokat) és így ez marad:

Algebrai törtek szorzása

Ha lehet, akkor egyszerűsítünk. Ha nem lehet, akkor pedig a számlálót a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel szorozzuk.

3.példa: Végezd el az alábbi szorzást!

Először is: ismét kikötéssel kezdünk, rögtön kettővel is, hiszen mind az első tört, mind a második tört nevezője nem lehet egyenlő 0-val:

Tehát az x nem lehet sem 4, sem -2. Elkezdhetjük a szorzást, mivel itt nem lehet sem kiemelni, sem szorzattá alakítani:

Elvégezzük a zárójel felbontásokat a számlálóban és a nevezőben is:

Ezt követően a nevezőben az azonos tagokat összevonjuk (a (+2x)-et és a (-4x)-et), és ezt kapjuk:

4.példa: Végezd el az alábbi szorzást!

Ismét kikötéssel kezdünk:

Tehát x nem lehet egyenlő sem -3/4-el, sem -1/2-el. Itt (az előző, 3. példával ellentétben) kiemelhetünk minden résznél valamit, így:

Mind a számlálót, mind a nevezőt leoszthatjuk a (2x+1) kifejezéssel, és így ezek a tagok kiesnek. A számokat összeszorozhatjuk (3⋅8=24 és 2⋅2=4):

Leoszthatjuk a számlálót és a nevezőt is 4-gyel, így fent 6 marad, lent pedig semmi (pontosabban 1, de ezt nem szokás kiírni matekban):

A következő bejegyzésben folytatjuk az algebrai törtekkel való munkát és átbeszéljük példákon keresztül a törtek osztását, összeadását és kivonását.

Megosztás:

Hasonló tartalmak

Érdekelne
matek érettségi felkészítés?

egy alma a villanyszerelőt távol tartja