GM1 – 03. Deriválás

hated_math_1200x627

3. témakör – Deriválás

Gazdasági matematika 1.

A differenciálszámítás, vagy más néven deriválás egy függvény adott pontjába húzott érintőjének a meredekségét adja meg. Na jó, és ez miért jó, mire használható? Ez így valóban csak egy üres, száraz definíció, de ha elolvasod ezt a bejegyzést és nyomon követed a következő heti anyagokat is, meg fogsz világosodni GARANTÁLTAN! 😉

slide28

Mire jó a deriválás (na nem az életben, hanem a matekban)?

A deriválást a függvényelemzésnél tudod majd alkalmazni, ugyanis egy függvény első deriváltjából megmondható a függvény monotonitása és szélsőértéke, míg egy függvény második deriváltjából a konvexitás és az inflexiós pont. Ne rohanjunk ennyire előre, nézzük át a deriválás alapjait.

A differenciálszámítást nem szabad úgy felfogni, mint egy megértésre szoruló anyagrészt – ahhoz, hogy átmenj Gazdmatek1-ből, elegendő, ha alkalmazni tudod a képlettárban is található deriválási szabályokat. A képlettárat ZH közben is használhatod, ám nem árt a gyakorlás, mert önmagában a négyjegyű függvénytábla sem csinálja meg senki helyett az jeles matek érettségit, hiába van benne minden „tudás”.

Kezdjünk el deriválni – avagy az elemi alapfüggvények deriváltja

Tudom ám, hogy csak erre a részre vágytál… kívánságod pedig parancs! 😉 A deriválása jelölése egy ’ jellel (aposztróf) történik. Ha például az f(x) függvényt deriválod, ez lesz belőle: f ’ (x)

Konstans függvény

Minden konstans deriváltja pontosan 0, ám nem csak olyan egyszerű formáikban jelennek meg, mint például az f(x) = 3, hanem az f(x)=3² vagy éppen az f(x) = lg8 is egy konstans, csak éppen más alakjában.

Hatványfüggvény

Az f(x)=xª függvény deriválásakor a kitevőt (a) lehozzuk az alap (x) elé, a kitevő értékét pedig fent 1-el csökkentjük. Ami nehezítés lehet, hogy időnként alkalmazni kell a deriválás előtt a hatványazonosságokat vagy el kell tüntetni a gyökjelet. Erről ITT találsz néhány videót.

Logaritmus függvény

Az a-alapú logaritmus x esetén a derivált az alább látható, míg az lnx egy speciális esetén, aminek a deriváltja az 1/x.

Exponenciális függvény

Az a^x és az e^x deriváltja alább látható. Igen, ez utóbbit könnyű lesz megjegyezni. 🙂

Mire jók a fentiek és miként lehet a ZH-ban?

 

A fenti elemi alapfüggvények deriváltjai csak bevezetnek a deriválásba, de a ZH-ban természetesen nem ilyen egyszerű példák lesznek jelen. A deriválási szabályokat (szorzás és osztás), valamint egy összetett függvény deriválását is a következő videóból ismerheted meg:

Tetszett a bejegyzés és a videó?

Ha IGEN a válaszod, akkor lájkold a Mádi Matek Facebook-oldalát a további INGYENES anyagokért, vagy iratkozz fel a hírlevélre, amihez ZH felkészülési tippek és ajándék MINTA ZH is jár. 🙂

Kövess Facebookon is!

GM1 – 02. Határérték

b140217-be-a-no-limits-player

2. témakör – Határérték számítás

Gazdasági matematika 1.

A határérték számítás témakörével legfeljebb akkor találkozhattál középiskolában, ha emelt szintű matekot tanultál – egyébként nem kellett volna (talán jobb is…). Ez egy új anyagrész szinte mindenkinek – a függvényelemzéshez tartozik, ám szükséges hozzá a hatványazonosságok ismerete is.

A határérték azt mutatja meg, hogy egy adott helyen a függvényértékek “hová tartanak” – ez lehet akár egy konkrét konstans is, de a végtelen is gyakori végeredmény.

Ők másfajta limes(ek)...
Limes, limes, na de nem olyan ami nekünk kell most...

A határérték bemutatása függvényábra segítségével

 

Egy függvénynek vizsgálhatjuk végtelenben és véges helyen is a határértékét. Nézzük meg a következő függvényt, aminek csak a képét ismerjük:

A végtelenben vett határérték

A fenti függvénynek nézzük meg, hogy mennyi a mínusz végtelenben vett határértéke. Ez azt jelenti, hogy ha az x-tengely mentén haladunk a mínusz végtelen irányába (tehát balra), akkor a függvényhez tartozó értékek hova tartanak, illetve esetünkben milyen számhoz “simulnak”. Az ábráról szépen leolvasható, hogy ez bizony 1 lesz

Ugyanez a helyzet a plusz végtelenben vett határértékkel is – ha jobbra haladunk, a plusz végtelen irányába, szintén 1-hez közelítenek a függvényértékek. Tehát azt mondhatjuk, hogy a függvény mínusz és plusz végtelenben vett határértéke is 1. Ez matematikai nyelven leírva:

A véges hely(ek)en vett határérték

 

A végteleneken túl véges helyen is vizsgálhatjuk egy függvény határértékét. Ez az egyetemi matek tanulmányok során a szakadási helyen vett határértéket fogja takarni. Szakadási helynek tekintünk minden olyan “helyet”, ahol a függvény nincs értelmezve – ez a fenti példa alapján -5-nél van, itt szakadt két részre a függvény. Vegyük észre, hogy konkrétan -5-ben nem tudunk határértéket vizsgálni, csak annak a “környékén” – ez úgy szoktuk hívni, hogy -5-től egy kicsit kilépünk balra (baloldali határérték), illetve egy kicsit kilépünk jobbra (jobboldali határérték).

Ha balra lépünk ki a -5-től, akkor látható, hogy a függvényünk megy fölfelé, egészen pontosan a függvényértékek a plusz végtelen irányába tartanak. Amennyiben jobbra lépünk, akkor a függvényértékek lefelé, azaz a mínusz végtelen irányába tartanak. Ilyen esetben, amikor eltér a kétoldali határérték, azt mondjuk, hogy -5-ben nincs a függvénynek határértéke. Szintén matematika nyelven tehát:

 

Mire jók a fentiek és miként lehet a ZH-ban?

 

Az 1. ZH-ban mindenki fog kapni végtelenben és véges helyen vett határérték számítási feladatot is. Ha szeretnéd gyakorolni, hogy hogyan lehet ezt kiszámolni a függvényábra tudta nélkül is (mert a ZH-n a függvény képe nem lesz ismert), nézd meg a következő videót:

Tetszett a bejegyzés és a videó?

Ha IGEN a válaszod, akkor lájkold a Mádi Matek Facebook-oldalát a további INGYENES anyagokért, vagy iratkozz fel a hírlevélre, amihez ZH felkészülési tippek és ajándék MINTA ZH is jár. 🙂

Kövess Facebookon is!

GM1 – 01. Pénzügyi számítások

A középiskolai anyagból még biztosan ismerős lehet a sorozatok témaköre. Ez az alapja a legelső egyetemi matek (Gazdasági matematika 1., Analízis) órának, így érdemes egy kicsit feleleveníteni a középiskolában tanultakat.

Plants
1. témakör – Pénzügyi számítások

Gazdasági matematika 1.

A középiskolai anyagból még biztosan ismerős lehet a sorozatok témaköre – tudod, differencia (d) és kvóciens (q). Ez az alapja a legelső egyetemi matek (Gazdasági matematika 1., Analízis) órának, így érdemes egy kicsit feleleveníteni a középiskolában tanultakat.

A számtani sorozatok esetén az egymást követő számok közti különbség állandó, míg a mértani sorozatok esetében  a hányadosuk állandó. Mindkét sorozatot egy nagyon egyszerű példán keresztül mutatom be Neked.

Nem ilyen jellegű sorozatokról lesz szó most.
Nos, nem ilyen jellegű sorozatokról lesz szó...

A számtani sorozat bemutatása

 

A számtani sorozattal tehető egyenlővé az egyszerű kamatozás (egyszerű kamatozás = csak a tőke kamatozik, azaz a kamat nem adódik hozzá a tőkéhez), gondolj bele: van 100 000 Ft készpénzed, amit néhány évre beteszel a bankba. Na most, ha már a bankra “hagytad” a pénzed egy időre, azaz ők szabadon “garázdálkodhatnak” vele, amíg náluk van, úgy fair, ha adnak cserébe néminemű ellenszolgáltatást, amit a közgazdászok kamatnak hívnak.

A bank azt ígéri neked, hogy a betett tőkédre (ami jelen esetben a 100 000 Ft) minden évben 10% kamatot ad, amíg náluk tartod a pénzedet. A 100000 Ft 10%-át úgy tudod kiszámolni, ha az alaptőkét szorzod a kamat századrészével, azaz 100000 Ft * 10%/100=10 000 Ft. Tehát a bank évi 10 000 Ft-ot ad neked, amíg náluk tartod a pénzed. Tegyük fel, hogy 6 évig bent hagyod a bankban a 100 000 forintodat, ekkor a bank már 6 évnyi kamattal lóg neked, azaz 6 * 10 000 Ft-al, ami barátok közt is 60 000 Ft – a tőkével együtt 160 000 Ft.

A fenti példa alapján beláthatjuk, hogy az alábbi képlet minden egyszerű kamatozás esetén működik:

Azért mondhatjuk, hogy a fenti példa tökéletesen illusztrálja a számtani sorozatot, hiszen az egyes évek alatt állandó a növekedés mértéke, mindig 10000 Ft üti a markod éves szinten.

A mértani sorozat bemutatása

 

A mértani sorozattal feleltethető meg a kamatos kamatozás (kamatos kamatozás = az alaptőkéhez minden évben “hozzácsapódik” a kamat, így a kamattal növelt tőke kamatozik tovább). Ugyanaz a szituáció, akárcsak az előbb: van ismét 100000 Ft-od, amire most a bank úgy ígér évi 10% kamatot, hogy a kamattal növelt tőkédet kamatoztatja tovább (kamatos kamatozás). 

Itt már nem olyan egyszerű az éves kamat értékének kiszámítása, hiszen minden évben más és más.

  • Az 1. évben a betett tőkéd, a 100 000 Ft-od 10%-a, azaz 10 000 Ft a kamat. Ez a kamat hozzáadódik a tőkédhez – már 110 000 Ft-od van, ami kamatozik tovább.
  • A 2. évben a kamattal növelt tőkéd, azaz a 110 000 Ft-od 10%-a lesz a kamat (110 000 Ft * 10%/100 = 11 000 Ft). Összegezve: 110 000 Ft + 11 000 Ft-od (összesen 121 000 Ft) lesz a 2. év végére, ami máris 1000 Ft-al több, mintha az egyszerű kamatozást kínálta volna fel a bank.
Természetesen nem kell minden egyes évvel végigszámolni, hogy mekkora összeg gyűlne össze a kamatokkal együtt, bátran használhatod a kamatos kamat számításához szükséges képletet:

Mire jók a fentiek és miként lehet a ZH-ban?

 

A fenti példák egyúttal a jövőérték (FV – future value) számításnak is megfelelnek, hiszen a jelenbeli összeg jövőbeli értékét határoztuk meg. A jelenérték számításnál (PV – present value), ugyanazt a képletet alkalmazhatjuk, mint a jövőérték számításnál – annyi mindössze a különbség, hogy az egyenlet átrendezése is szükségessé válik.

A jelenérték számítás (más néven diszkontálás) kiválóan alkalmas különböző árajánlatok összehasonlítására, ami egy potenciális ZH feladat lehet. Ezt egy példán keresztül ismerheted meg, amit itt a lenti videóban vezetek le.

Tetszett a bejegyzés és a videó?

Ha IGEN a válaszod, akkor lájkold a Mádi Matek Facebook-oldalát a további INGYENES anyagokért, vagy iratkozz fel a hírlevélre, amihez ZH felkészülési tippek és ajándék MINTA ZH is jár. 🙂

Kövess Facebookon is!